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国中数学/国中数学七年级/4-1 二元一次方程式

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4-1 二元一次方程式 		► 4-2 解二元一次联立方程式　

生活当中，常常会发生两个变数在变动的情形。举例来说：

  • 全班有男生和女生。
  • 使用五元硬币和十元硬币购买商品。
  • 许多地方的收费标准会分为全票与半票。

这个时候，如果只有设一个未知数感觉又不太实际。所以在这一节，我们要介绍由两个未知数所构成的二元一次式，并进一步地介绍二元一次方程式，在4-2 解二元一次联立方程式进一步会去解两个未知数的式子。

二元一次式

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以刚刚举的例子为例：

  • 若班上有 位男学生和 位女学生，则全班有 位学生。
  • 小琪买早餐花了 枚五元硬币和 枚十元硬币，
    1.  枚五元硬币的价值为 元。
    2.  枚十元硬币的价值为 元。
    3. 所以小琪买早餐花了 元。
  • 动物园入园半票每张 元，全票每张 元，雨辰一家人到动物园玩，总共买了 张半票和 张全票，又
    1. 半票每张 元，买 张要 元。
    2. 全票每张 元，买 张要 元。
    3. 所以雨辰一家人的门票费为 元。

以上出现的式子 、 、 这种出现两个未知数，而且未知数的次方都是 的式子我们称作二元一次式。
这边要注意一些不是二元一次式的情况：

不是二元一次式的情形
举例
分母出现未知数  
未知数出现在绝对值内  、 
出现了等号  
未知数的次方不是   
未知数相乘  

二元一次式的名词

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跟一元一次式类似，以下是二元一次式的常用名词：

名称
说明
以 为例子
项
用加号连接的各部分
因为 ，所以 、 与 都称作 的项。
 项与 项
有出现一次未知数 或 的项。
因为 有出现未知数 ，所以 的 项为 ；因为 有出现未知数 ，所以 的 项为 。
常数项
没有出现任何未知数的项
因为 没有出现未知数，所以 的常数项为 。
系数
未知数前面的数字或是常数项
在 中，未知数 前面的数字为 ，所以称 为 的 项系数；在 中，未知数 前面的数字为 ， 为 的 项系数。
单项式
只有单一一个项的式子
 只有一项，所以为单项式。
同类项
具有相同的未知数，而且次方数也相同的两个项
 与 的未知数不相同，所以它们不是同类项； 与 的未知数相同，次数也都是 ，所以它们是同类项。

小测

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1  的 项系数是多少？(单选)

 
 
 
 

2 哪一个选项的 项系数是 ？(单选)

 
 
 
 

3 哪一组为同类项？(单选)

 与 
 与 
 与 
 与 

二元一次式的运算

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二元一次式的运算如同一元一次式的运算相同，只是多了一个未知数而已。

  • 二元一次式的加减运算：利用同类项合并与去括号规则。
    1. 同类项合并：将相同未知数的系数相加(减)。如： ； ，本质上为分配律。
    2. 去括号规则：括号外为加号，则括号内的运算符号不用改变；括号外为减号，则括号内的运算符号加改减，减改加。如： ； [注 1]。
  • 二元一次式的系数积：利用分配律。
    • 如：
      1.  ；
      2.  。
  • 分数型的运算：通分。
    • 如：
      •  

二元一次方程式

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当一个方程式可以整理成 ，其中 为任何数，则我们称这样的式子为二元一次方程式。[注 2]
以下是一些例子：

  1.  是二元一次方程式，因为 可以改写成 。
  2.  是二元一次方程式，因为 可以改写成 。
  3.  不是二元一次方程式，因为 可以改写成 只有出现一个未知数。

注解

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  1. ↑ 可以将 想成 。
  2. ↑ 这是未知数为 与 的状况。事实上，只要整理过后有出现两个未知数的方程式都是二元一次方程式，但大部分以 与 为主。
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