國中數學/國中數學七年級/1-2 正負數的加減

1-1 正數與負數

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國中數學七年級 1-2 正負數的加減

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1-3 正負數的乘除

在前面一節我們學到了負數，接下來我們將要學習正負數的加減法。不過我們這裏主要是學習整數與小數的部分，分數的部分請見2-3 分數的加減。

正負數相加

在底下，我們將利用白色圓球代表$+1$，利用黑色圓球代表$-1$介紹正負數的相加模式。

代表$+1$的圖示	代表$-1$的圖示

同號數相加

先來看看國小就有學習的正數加法：

例題$1$ 計算$3+2$的值。

解 $+$ $=$ $(+3)$ $+$ $(+2)$ $=$ $(+5)$ $3$顆白球與$2$顆白球共有$5$顆白球，所以$3+2=5$

兩個負數的加法也可以用相同方式計算：

例題$2$ 計算$(-3)+(-4)$的值。

解 $+$ $=$ $(-3)$ $+$ $(-4)$ $=$ $(-7)$ $3$顆黑球與$4$顆黑球共有$7$顆黑球，所以$(-3)+(-4)=-7$

所以要相加的球如果顏色相同，那麼只需要計算球的數量，而且答案與顏色相同，
即兩個同號數相加時，答案符號相同，數字部分相加。

例題$3$ 計算$(-33)+(-67)$的值。

解 因為$-33$與$-67$為同號數， 所以$(-33)+(-67)$ $=-(33+67)$ $=-100$

同樣的方式也可以用在小數：

例題$4$ 計算$(-17.3)+(-23.9)$的值。

解 因為$-17.3$與$-23.9$為同號數， 所以$(-17.3)+(-23.9)$ $=-(17.3+23.9)$ $=-41.2$

習題

習題$1.$計算下列各式的值。

1. $7+3$
2. $(-7)+(-3)$
3. $(-28)+(-53)$
4. $(-43.3)+(-51.5)$

異號數相加

異號數相加有一個重點：只要一顆白色圓球與一顆黑色圓球相遇就會互相抵銷。

為什麼會抵消？

因為正與負為相對的關係。往東與往西是相對的關係，先往東$4$步再往西$4$步，你可以試着走走看，你將會回到原地。

	$+$		$=$
$+1$	$+$	$(-1)$	$=$	$0$(抵銷光光)

例題$5$ 計算$(-3)+2$的值。

解 $+$ $=$ $(-3)$ $+$ $(+2)$ $=$ $(-1)$ $3$顆黑球與$2$顆白球相加，其中$2$顆黑球與$2$顆白球互相抵消，白球沒了，黑球還剩下$1$顆，所以$(-3)+2=-1$

例題$6$ 計算$(-1)+4$的值。

解 $+$ $=$ $(-1)$ $+$ $(+4)$ $=$ $(+3)$ $1$顆黑球與$4$顆白球相加，其中$1$顆黑球與$1$顆白球互相抵消，黑球沒了，白球還剩下$3$顆，所以$(-1)+4=3$

有注意到嗎？其實如果顏色不同，那麼只需要計算抵銷後剩餘球數，而且答案與球多的顏色相同，
即兩個異號數相加時，答案符號與取絕對值之後數字大相同，數字部分大減小。

例題$7$ 計算$(-33)+67$的值。

解 因為$-33$與$67$為異號數，而且$|-33|<|67|$ 所以答案的性質符號與$67$相同，為正數， $(-33)+67$ $={\color {red}+}(67-33)$ $=+34$

同樣的方式也可以用在小數：

例題$8$ 計算$3.9+(-6.7)$的值。

解 因為$3.9$與$-6.7$為異號數，而且$|3.9|<|-6.7|$ 所以答案的性質符號與$-6.7$相同，為負數， $3.9+(-6.7)$ $={\color {red}-}(6.7-3.9)$ $=-2.8$

習題

習題$2.$計算下列各式的值。

1. $(-7)+5$
2. $7+(-5)$
3. $(-68)+123$
4. $2.1+(-52.1)$

交換律

國小數學學過$5+4=4+5$，
那麼負數相加時，$(-5)+(-4)=(-4)+(-5)$嗎？
正負數相加時，$(-5)+4=4+(-5)$嗎？

例題$9$ 分別計算$(-5)+(-4)$與$(-4)+(-5)$的值，並比較是否相等。

解 $(-5)+(-4)=-(5+4)=-9$， $(-4)+(-5)=-(4+5)=-9$， 故兩式相等。

例題$10$ 分別計算$(-5)+4$與$4+(-5)$的值，並比較是否相等。

解 $(-5)+4=-(5-4)=-1$， $4+(-5)=-(5-4)=-1$， 故兩式相等。

事實上，我們在上面討論的過程中並沒有限制兩個數相加的順序，所以

若$a$、$b$為兩個數，則${\color {red}a+b=b+a}$。

習題

習題$3.$分別計算$5+(-4)$與$(-4)+5$的值，並比較是否相等。

相反數相加

因為兩個相反數相加，球都會消光光，所以

若$a$為任意數，則${\color {red}a+(-a)=(-a)+a=0}$。

習題

習題$4.$計算下列各式的值：

1. $55.34+(-55.34)$
2. $(-1423)+1423$

加上0

因為加上$0$代表不加球，球跟原本一樣；反過來說，$0$加上任何數代表原本沒有球再加球，結果跟你加進去的球一樣，故

若$a$為任意數，則${\color {red}a+0=0+a=a}$。

習題

習題$5.$計算下列各式的值：

1. $0+(-3.1415)$
2. $(-5284)+0$

整數的連加

在計算連加式的時候，原則為有括號要先算，從左而右計算。

例題$11$ 計算$(-13)+15+[(-34)+21]$的值。

解 $(-13)+15+[(-34)+21]$ $=(-13)+15+(-13)$(先算括號) $=2+(-13)$(從左而右計算) $=-11$

習題

習題$6.$計算下列各式的值。

1. $(-11)+(5+6)$
2. $[29+(-17)]+[(-83)+78]$
3. $5.7+(-6.3)+(-7.2)+8.1$

結合律

國小數學學過$(5+4)+3=5+(4+3)$，
事實上，這對於負數的加法運算也正確，即

若$a$、$b$、$c$為三個數，則${\color {red}(a+b)+c=a+(b+c)}$。

例題$12$ 分別計算$[(-5)+(-4)]+3$與$(-5)+[(-4)+3]$的值，並比較是否相等。

解 $[(-5)+(-4)]+3=(-9)+3=-6$， $(-5)+[(-4)+3]=(-5)+(-1)=-6$， 故兩式相等。

習題

習題$7.$分別計算$[5+(-4)]+12$與$5+[(-4)+12]$的值，並比較是否相等。

綜合使用交換律與結合律計算連加算式

有時使用交換律與結合律會更方便我們計算。

例題$13$ 計算$(-75375923)+(-5878)+75375925$的值。

解 $(-75375923)+(-5878)+75375925$ $=(-75375923)+[(-5878)+75375925]$ $=(-75375923)+[75375925+(-5878)]$(交換律) $=[(-75375923)+75375925]+(-5878)$(結合律) $=2+(-5878)$ $=-5876$

習題

習題$8.$計算下列各式的值。

1. $1234+(-87653321)+87653320$
2. $(-5443)+[(-4557)+(-17385)]$
3. $[(-145.3347)+14]+146.3347$

正負數相減

減掉一個數，我們可以想像成拿走指定顏色與數量的球。如$-3$就是拿走$3$顆白球；$-(-4)$就是拿走$4$顆黑球。

同號數相減

讓我們用這樣的方式來看看國小就有學習的正數減法：

例題$14$ 計算$5-3$的值。

解 $5$顆白球拿走$3$顆白球還剩下$2$顆白球，所以$5-3=2$。

減掉一個負數呢？

例題$15$ 計算$(-7)-(-4)$的值。

解 $7$顆黑球拿走$4$顆黑球還剩下$3$顆黑球，所以$(-7)-(-4)=-3$。

以上是可以拿走白黑球的狀況，如果不行呢？看看以下的例子：

問題$1$ 計算$1-3$的值。

解 $1$顆白球拿走$3$顆白球……。根本不夠拿啊……

還記得一顆白球與一顆黑球代表${\color {red}0}$嗎？這意思就是無論多了幾組一白一黑的球，原本的數不會改變。

這是$1$	這也是$1$	這還是$1$

所以：

例題$16$ 計算$1-3$的值。

解 先補球，補到剛好出現$3$顆白球為止： 這時再拿走$3$顆白球： 最後剩下$2$顆黑球，所以$1-3=-2$。

同樣也可以處理黑球不夠的問題：

例題$17$ 計算$(-1)-(-4)$的值。

解 先補球，補到剛好出現$4$顆黑球為止： 這時再拿走$4$顆黑球： 最後剩下$3$顆白球，所以$(-1)-(-4)=3$。

異號數相減

異號數相減其實就是不夠球的減法，也就是利用一顆白球與一顆黑球代表${\color {red}0}$的方法。

例題$18$ 計算$(-3)-5$的值。

解 先補球，補到剛好出現$5$顆白球為止： 這時再拿走$5$顆白球： 最後剩下$8$顆黑球，所以$(-3)-5=-8$。

例題$19$ 計算$5-(-2)$的值。

解 先補球，補到剛好出現$2$顆黑球為止： 這時再拿走$2$顆黑球： 最後剩下$7$顆白球，所以$5-(-2)=7$。

減法與加法的關係

讓我們來觀察一下$1-(-3)$與$1+3$之間的關係：

$1-(-3)$	$1+3$
$1-(-3)=4$	$1+3=4$

其實拿走$3$顆黑球這件事就跟加上$3$顆白球一樣，所以$1{\color {red}-(-3)}=1{\color {red}+3}=4$。
再來觀察$(-1)-(-3)$與$(-1)+3$之間的關係：

$(-1)-(-3)$	$(-1)+3$
$\Rightarrow$
$(-1)-(-3)=2$	$(-1)+3=2$

為了觀察與上面相同而類似的結果，我們故意剛好補成$3$組白球與黑球，再將$3$顆黑球拿走，剩下的情況剛好等於$1$顆黑球與$3$顆白球相加。
所以同樣的，拿走$3$顆黑球這件事跟加上$3$顆白球一樣。
當然，減掉正數或是其他負數也可以利用同樣的方式討論，故可以得到以下結論：

結論

減掉一個數，等於加上這個數的相反數。即若$a$、$b$為兩個數，則${\color {red}a-b=a+(-b)}$。

利用這個結論，讓我們再來練習：

例題$20$ 計算$39-(-28)$的值。

解 $39-(-28)$ $=39+28$ $=67$

用於小數也可以喔！

例題$21$ 計算$(-2.7)-(-8.44)$的值。

解 $(-2.7)-(-8.44)$ $=(-2.7)+8.44$ $=+(8.44-2.7)$ $=5.74$

例題$22$ 計算$(-2.7)-8.44$的值。

解 $(-2.7)-8.44$ $=(-2.7)+(-8.44)$ $=-(2.7+8.44)$ $=-11.14$

例題$23$ 計算$8.44-(-2.7)$的值。

解 $8.44-(-2.7)$ $=8.44+2.7$ $=11.14$

由例題$22$與例題$23$可知，減法沒有交換律。

習題

習題$9.$計算下列各式的值：

1. $(-13)-(-7)$
2. $(-83)-(-102)$
3. $15-(-17)$
4. $(-12)-13$
5. $3.14-(-3.14)$
6. $(-2.33)-1.67$

正負數加減混合運算

以下是計算正負數的加減混合運算的時候要注意的規則：

1. 有絕對值要先算。
2. 有括號要先算，順序依序為$()\rightarrow []\rightarrow${}。
3. 沒括號時，從左而右計算。

而為了方便計算，可以利用減掉一個數等於加上一個數的相反數之特性將$-$改成$+$。

例題$24$ 計算$(-57)+[(-43)-(-62)]$之值。

解 $(-57)+[(-43)-(-62)]$ $=(-57)+[(-43)+62]$(減的改成加的) $=(-57)+[+(62-43)]$(先算括號) $=(-57)+19$ $=-(57-19)$ $=-38$

例題$25$ 計算$(-37)+[-33+[(-36)+11]]-17$之值。

解 $(-37)+[-33-(36-11)]-17$ $=(-37)+[(-33)-25]+(-17)$(減的改成加的) $=(-37)+[-(25+33)]+(-17)$(先算括號) $=(-37)+(-58)+(-17)$ $=-(37+58)+(-17)$(從左而右計算) $=(-95)+(-17)$ $=-(95+17)$ $=-112$

習題

習題$10.$計算下列各式的值：

1. $13+[(-8)+(-24)]$
2. $[37+(-54)]-[(-24)-26]$
3. $11+(-22)-[33+(-44)]$

接下來來練習有絕對值的加減混合運算。

例題$26$ 計算$|-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6$之值。

解 $|-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6$ $=23.4+|(-15.3)+1.3|-26.6$(計算絕對值部分) $=23.4+|-14|-26.6$(先算括號) $=23.4+14-26.6$ $=37.4-26.6$(從左而右計算) $=10.8$

習題

習題$11.$計算下列各式的值：

1. $13+|-8|+(-24)$
2. $|37+24|-|24-37|$
3. $15-|(-8)+(-7)|+|-23|$

去括號規則

觀察下列兩個表格：

式子	$5{\color {red}-}(7{\color {red}-}3)$	$5{\color {red}-}7{\color {blue}-}3$	$5{\color {red}-}7{\color {red}+}3$
計算結果	$=5-4$ $={\color {red}1}$	$=(-2)-3$ $=(-2)+(-3)$ $=-(2+3)$ $=-5$	$=(-2)+3$ $=+(3-2)$ $={\color {red}1}$

式子	$(-5){\color {red}-}[7{\color {red}+}(-2)]$	$(-5){\color {red}-}7{\color {blue}+}(-2)$	$(-5){\color {red}-}7{\color {red}-}(-2)$
計算結果	$=(-5)-5$ $=(-5)+(-5)$ $=-(5+5)$ $={\color {red}-10}$	$=(-5)+(-7)+(-2)$ $=-(5+7)+(-2)$ $=(-12)+(-2)$ $=(-12+2)$ $=-14$	$=(-5)+(-7)+2$ $=-(5+7)+2$ $=(-12)+2$ $=-(12-2)$ $={\color {red}-10}$

所以括號前的運算符號是$-$，則括號裏的運算符號要由加號改成減號，由減號改成加號。
由此推論出以下去括號規則：

設$a$、$b$為兩個數，則 $-(a+b)=-a-b$ $-(a-b)=-a+b$ $-(-a+b)=a-b$ $-(-a-b)=a+b$

去括號規則有時可以讓我們有更簡便的運算。請看以下例題。

例題$27$ 計算$(-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]$之值。

解 $(-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]$ $=(-15963471){\color {red}-}[{\color {red}-}15963472{\color {red}+}12345]$ $=(-15963471){\color {red}+}15963472{\color {red}-}12345$ $=1-12345$ $=-12344$

習題

習題$12.$計算下列各式的值：

1. $(-166666)-[(-166664)+(-354)]$
2. $39717185-[(-12349999)-(-39717185)]$

數線上兩點之間的距離

參見：數線上兩點之間的距離
臺灣的中山高速公路中，豐原交流道位於里程南下$168.3$公里處，而從豐原交流道南下最近的服務區為西螺服務區，它位於里程南下$229.3$公里處。雨婷一家人從豐原交流道南下，到最近的西螺服務區有多少公里的距離？同時，以涵一家人從西螺服務區離開，他們要到豐原交流道，則他們要走多少距離？

• 我們知道這兩家人只是來回於豐原交流道與西螺服務區之間，所以這兩家人移動的距離應該是相同的，而他們移動的距離都是$229.3-168.3=61$公里。

同樣的，我們可以將數線想像成高速公路，任意兩點也可以考慮它們的距離。在中山高速公路的例子中，我們以南下為正向逐漸增大，所以兩地的距離我們計算的方式為用比較大的$229.3$減去比較小的$168.3$，得到$61$的結果。事實上，在數線上也正是如此：

 在數線上任兩點的距離等於兩個點所代表的數當中比較大的數減掉比較小的數的結果。

比方說數線上有兩點$A(-7)$與$B(5)$，因為$5>-7$的關係，所以$A$與$B$的距離(我們用${\color {red}{\overline {AB}}}$表示)為$5-(-7)=12$。

• 因為定義上的關係，所以任意兩相異點之間的距離都是正數。

雖然這樣的定義很容易理解，不過當不確定兩個數當中哪個數比較大的時候，這樣的定義就會造成麻煩了。比如說$A(a)$與$B(b)$的距離為何？我們就要分別討論

1. 當$a>b$時，${\overline {AB}}=a-b$。
2. 當$b>a$時，${\overline {AB}}=b-a$。

再一個例子，圓周率大約是$3.14$，它也只是大約而已，圓周率後面有一連串莫名其妙的數字。那在你背不出圓周率完整前$8$位$3.1415926$的情況，你一定認為圓周率比$3.1415923$小，所以就拿圓周率減掉$3.1415923$而出錯了。
所以我們一定要有一個辦法，無論我們不知道誰大誰小，我們都能表示距離的方法。讓我們回到剛剛兩點$A(-7)$與$B(5)$的例子，如果反過來做，我們誤以為$-7>5$而計算出 $(-7)-5=-12$，咦？跟真正的距離只差一個負號，所以其實我們只要不管性質符號就好。誰能夠不管性質符號只管數字呢？那就是絕對值了！於是我們可以修改如下：

 數線上$A(a)$與$B(b)$的距離等於$|a-b|=|b-a|$。

所以管它那麼多，$A(-7)$與$B(5)$的距離就是$|5-(-7)|=|(-7)-5|$；圓周率與$3.1415923$的距離為$|$圓周率$-3.1415923|=|3.1415923-$圓周率$|$。
來練習吧。

例題$28$ 數線上有三點$A(7)$、$B(-13)$、$C(-3)$，試求： $(1){\overline {AB}}$ $(2){\overline {AC}}$ $(3){\overline {BC}}$

解 $(1){\overline {AB}}=|7-(-13)|=|20|=20$ $(2){\overline {AC}}=|7-(-3)|=|10|=10$ $(3){\overline {BC}}=|(-13)-(-3)|=|-10|=10$

習題$13.$
數線上有三點$A(3)$、$B(-6)$、$C(-12)$，試求${\overline {AB}}+{\overline {AC}}-{\overline {BC}}$。

中點

參見：中點
在例題$28$中，我們發現$C(-3)$到$A(7)$、$B(-13)$兩點的距離都是$10$，所以$C$點在$A$、$B$兩點的正中央，我們稱$C$點為$A$、$B$兩點的中點，也可以說$C$點為${\overline {AB}}$的中點。

 當數線上一點$C$與另外相異兩點$A$、$B$的距離相等，則我們稱$C$點為$A$、$B$兩點的中點，也可以說$C$點為${\overline {AB}}$的中點。

所以要檢查一個點是不是中點，只需要計算它到兩端點的距離是否相等即可。

習題$14.$
數線上有三點$A(15)$、$B(-11)$、$C(2)$，檢查$C$點是否為${\overline {AB}}$的中點。

給定兩個點$A(a)$、$B(b)$要怎麼找出中點呢？

1. 因為中點到兩端點的距離相等，所以先計算到兩端點的距離${\overline {AB}}$，中點到$A$點或$B$點的距離都是${\overline {AB}}\div 2$。
2. 若$a<b$，則中點的位置$=a+{\overline {AB}}\div 2$或$=b-{\overline {AB}}\div 2$

例題$29$ 數線上兩點$A(19)$、$B(-11)$，試求${\overline {AB}}$的中點坐標。

解 ${\overline {AB}}=|19-(-11)|=|30|=30$，$30\div 2=15$ 因為$-11<19$，所以中點坐標$=-11+15=4$

習題$15.$
數線上有兩點$A(-29)$、$B(-17)$，試求${\overline {AB}}$的中點坐標。

不過這又有一個狀況了，如果我們想要找出圓周率與$3.14159267$的中點坐標呢？在下一個單元中，我們將導出中點坐標的公式。