国中数学/国中数学七年级/1-2 正负数的加减

1-1 正数与负数

◄

国中数学七年级 1-2 正负数的加减

►

1-3 正负数的乘除

在前面一节我们学到了负数，接下来我们将要学习正负数的加减法。不过我们这里主要是学习整数与小数的部分，分数的部分请见2-3 分数的加减。

正负数相加

在底下，我们将利用白色圆球代表$+1$，利用黑色圆球代表$-1$介绍正负数的相加模式。

代表$+1$的图示	代表$-1$的图示

同号数相加

先来看看国小就有学习的正数加法：

例题$1$ 计算$3+2$的值。

解 $+$ $=$ $(+3)$ $+$ $(+2)$ $=$ $(+5)$ $3$颗白球与$2$颗白球共有$5$颗白球，所以$3+2=5$

两个负数的加法也可以用相同方式计算：

例题$2$ 计算$(-3)+(-4)$的值。

解 $+$ $=$ $(-3)$ $+$ $(-4)$ $=$ $(-7)$ $3$颗黑球与$4$颗黑球共有$7$颗黑球，所以$(-3)+(-4)=-7$

所以要相加的球如果颜色相同，那么只需要计算球的数量，而且答案与颜色相同，
即两个同号数相加时，答案符号相同，数字部分相加。

例题$3$ 计算$(-33)+(-67)$的值。

解 因为$-33$与$-67$为同号数， 所以$(-33)+(-67)$ $=-(33+67)$ $=-100$

同样的方式也可以用在小数：

例题$4$ 计算$(-17.3)+(-23.9)$的值。

解 因为$-17.3$与$-23.9$为同号数， 所以$(-17.3)+(-23.9)$ $=-(17.3+23.9)$ $=-41.2$

习题

习题$1.$计算下列各式的值。

1. $7+3$
2. $(-7)+(-3)$
3. $(-28)+(-53)$
4. $(-43.3)+(-51.5)$

异号数相加

异号数相加有一个重点：只要一颗白色圆球与一颗黑色圆球相遇就会互相抵销。

为什么会抵消？

因为正与负为相对的关系。往东与往西是相对的关系，先往东$4$步再往西$4$步，你可以试着走走看，你将会回到原地。

	$+$		$=$
$+1$	$+$	$(-1)$	$=$	$0$(抵销光光)

例题$5$ 计算$(-3)+2$的值。

解 $+$ $=$ $(-3)$ $+$ $(+2)$ $=$ $(-1)$ $3$颗黑球与$2$颗白球相加，其中$2$颗黑球与$2$颗白球互相抵消，白球没了，黑球还剩下$1$颗，所以$(-3)+2=-1$

例题$6$ 计算$(-1)+4$的值。

解 $+$ $=$ $(-1)$ $+$ $(+4)$ $=$ $(+3)$ $1$颗黑球与$4$颗白球相加，其中$1$颗黑球与$1$颗白球互相抵消，黑球没了，白球还剩下$3$颗，所以$(-1)+4=3$

有注意到吗？其实如果颜色不同，那么只需要计算抵销后剩余球数，而且答案与球多的颜色相同，
即两个异号数相加时，答案符号与取绝对值之后数字大相同，数字部分大减小。

例题$7$ 计算$(-33)+67$的值。

解 因为$-33$与$67$为异号数，而且$|-33|<|67|$ 所以答案的性质符号与$67$相同，为正数， $(-33)+67$ $={\color {red}+}(67-33)$ $=+34$

同样的方式也可以用在小数：

例题$8$ 计算$3.9+(-6.7)$的值。

解 因为$3.9$与$-6.7$为异号数，而且$|3.9|<|-6.7|$ 所以答案的性质符号与$-6.7$相同，为负数， $3.9+(-6.7)$ $={\color {red}-}(6.7-3.9)$ $=-2.8$

习题

习题$2.$计算下列各式的值。

1. $(-7)+5$
2. $7+(-5)$
3. $(-68)+123$
4. $2.1+(-52.1)$

交换律

国小数学学过$5+4=4+5$，
那么负数相加时，$(-5)+(-4)=(-4)+(-5)$吗？
正负数相加时，$(-5)+4=4+(-5)$吗？

例题$9$ 分别计算$(-5)+(-4)$与$(-4)+(-5)$的值，并比较是否相等。

解 $(-5)+(-4)=-(5+4)=-9$， $(-4)+(-5)=-(4+5)=-9$， 故两式相等。

例题$10$ 分别计算$(-5)+4$与$4+(-5)$的值，并比较是否相等。

解 $(-5)+4=-(5-4)=-1$， $4+(-5)=-(5-4)=-1$， 故两式相等。

事实上，我们在上面讨论的过程中并没有限制两个数相加的顺序，所以

若$a$、$b$为两个数，则${\color {red}a+b=b+a}$。

习题

习题$3.$分别计算$5+(-4)$与$(-4)+5$的值，并比较是否相等。

相反数相加

因为两个相反数相加，球都会消光光，所以

若$a$为任意数，则${\color {red}a+(-a)=(-a)+a=0}$。

习题

习题$4.$计算下列各式的值：

1. $55.34+(-55.34)$
2. $(-1423)+1423$

加上0

因为加上$0$代表不加球，球跟原本一样；反过来说，$0$加上任何数代表原本没有球再加球，结果跟你加进去的球一样，故

若$a$为任意数，则${\color {red}a+0=0+a=a}$。

习题

习题$5.$计算下列各式的值：

1. $0+(-3.1415)$
2. $(-5284)+0$

整数的连加

在计算连加式的时候，原则为有括号要先算，从左而右计算。

例题$11$ 计算$(-13)+15+[(-34)+21]$的值。

解 $(-13)+15+[(-34)+21]$ $=(-13)+15+(-13)$(先算括号) $=2+(-13)$(从左而右计算) $=-11$

习题

习题$6.$计算下列各式的值。

1. $(-11)+(5+6)$
2. $[29+(-17)]+[(-83)+78]$
3. $5.7+(-6.3)+(-7.2)+8.1$

结合律

国小数学学过$(5+4)+3=5+(4+3)$，
事实上，这对于负数的加法运算也正确，即

若$a$、$b$、$c$为三个数，则${\color {red}(a+b)+c=a+(b+c)}$。

例题$12$ 分别计算$[(-5)+(-4)]+3$与$(-5)+[(-4)+3]$的值，并比较是否相等。

解 $[(-5)+(-4)]+3=(-9)+3=-6$， $(-5)+[(-4)+3]=(-5)+(-1)=-6$， 故两式相等。

习题

习题$7.$分别计算$[5+(-4)]+12$与$5+[(-4)+12]$的值，并比较是否相等。

综合使用交换律与结合律计算连加算式

有时使用交换律与结合律会更方便我们计算。

例题$13$ 计算$(-75375923)+(-5878)+75375925$的值。

解 $(-75375923)+(-5878)+75375925$ $=(-75375923)+[(-5878)+75375925]$ $=(-75375923)+[75375925+(-5878)]$(交换律) $=[(-75375923)+75375925]+(-5878)$(结合律) $=2+(-5878)$ $=-5876$

习题

习题$8.$计算下列各式的值。

1. $1234+(-87653321)+87653320$
2. $(-5443)+[(-4557)+(-17385)]$
3. $[(-145.3347)+14]+146.3347$

正负数相减

减掉一个数，我们可以想像成拿走指定颜色与数量的球。如$-3$就是拿走$3$颗白球；$-(-4)$就是拿走$4$颗黑球。

同号数相减

让我们用这样的方式来看看国小就有学习的正数减法：

例题$14$ 计算$5-3$的值。

解 $5$颗白球拿走$3$颗白球还剩下$2$颗白球，所以$5-3=2$。

减掉一个负数呢？

例题$15$ 计算$(-7)-(-4)$的值。

解 $7$颗黑球拿走$4$颗黑球还剩下$3$颗黑球，所以$(-7)-(-4)=-3$。

以上是可以拿走白黑球的状况，如果不行呢？看看以下的例子：

问题$1$ 计算$1-3$的值。

解 $1$颗白球拿走$3$颗白球……。根本不够拿啊……

还记得一颗白球与一颗黑球代表${\color {red}0}$吗？这意思就是无论多了几组一白一黑的球，原本的数不会改变。

这是$1$	这也是$1$	这还是$1$

所以：

例题$16$ 计算$1-3$的值。

解 先补球，补到刚好出现$3$颗白球为止： 这时再拿走$3$颗白球： 最后剩下$2$颗黑球，所以$1-3=-2$。

同样也可以处理黑球不够的问题：

例题$17$ 计算$(-1)-(-4)$的值。

解 先补球，补到刚好出现$4$颗黑球为止： 这时再拿走$4$颗黑球： 最后剩下$3$颗白球，所以$(-1)-(-4)=3$。

异号数相减

异号数相减其实就是不够球的减法，也就是利用一颗白球与一颗黑球代表${\color {red}0}$的方法。

例题$18$ 计算$(-3)-5$的值。

解 先补球，补到刚好出现$5$颗白球为止： 这时再拿走$5$颗白球： 最后剩下$8$颗黑球，所以$(-3)-5=-8$。

例题$19$ 计算$5-(-2)$的值。

解 先补球，补到刚好出现$2$颗黑球为止： 这时再拿走$2$颗黑球： 最后剩下$7$颗白球，所以$5-(-2)=7$。

减法与加法的关系

让我们来观察一下$1-(-3)$与$1+3$之间的关系：

$1-(-3)$	$1+3$
$1-(-3)=4$	$1+3=4$

其实拿走$3$颗黑球这件事就跟加上$3$颗白球一样，所以$1{\color {red}-(-3)}=1{\color {red}+3}=4$。
再来观察$(-1)-(-3)$与$(-1)+3$之间的关系：

$(-1)-(-3)$	$(-1)+3$
$\Rightarrow$
$(-1)-(-3)=2$	$(-1)+3=2$

为了观察与上面相同而类似的结果，我们故意刚好补成$3$组白球与黑球，再将$3$颗黑球拿走，剩下的情况刚好等于$1$颗黑球与$3$颗白球相加。
所以同样的，拿走$3$颗黑球这件事跟加上$3$颗白球一样。
当然，减掉正数或是其他负数也可以利用同样的方式讨论，故可以得到以下结论：

结论

减掉一个数，等于加上这个数的相反数。即若$a$、$b$为两个数，则${\color {red}a-b=a+(-b)}$。

利用这个结论，让我们再来练习：

例题$20$ 计算$39-(-28)$的值。

解 $39-(-28)$ $=39+28$ $=67$

用于小数也可以喔！

例题$21$ 计算$(-2.7)-(-8.44)$的值。

解 $(-2.7)-(-8.44)$ $=(-2.7)+8.44$ $=+(8.44-2.7)$ $=5.74$

例题$22$ 计算$(-2.7)-8.44$的值。

解 $(-2.7)-8.44$ $=(-2.7)+(-8.44)$ $=-(2.7+8.44)$ $=-11.14$

例题$23$ 计算$8.44-(-2.7)$的值。

解 $8.44-(-2.7)$ $=8.44+2.7$ $=11.14$

由例题$22$与例题$23$可知，减法没有交换律。

习题

习题$9.$计算下列各式的值：

1. $(-13)-(-7)$
2. $(-83)-(-102)$
3. $15-(-17)$
4. $(-12)-13$
5. $3.14-(-3.14)$
6. $(-2.33)-1.67$

正负数加减混合运算

以下是计算正负数的加减混合运算的时候要注意的规则：

1. 有绝对值要先算。
2. 有括号要先算，顺序依序为$()\rightarrow []\rightarrow${}。
3. 没括号时，从左而右计算。

而为了方便计算，可以利用减掉一个数等于加上一个数的相反数之特性将$-$改成$+$。

例题$24$ 计算$(-57)+[(-43)-(-62)]$之值。

解 $(-57)+[(-43)-(-62)]$ $=(-57)+[(-43)+62]$(减的改成加的) $=(-57)+[+(62-43)]$(先算括号) $=(-57)+19$ $=-(57-19)$ $=-38$

例题$25$ 计算$(-37)+[-33+[(-36)+11]]-17$之值。

解 $(-37)+[-33-(36-11)]-17$ $=(-37)+[(-33)-25]+(-17)$(减的改成加的) $=(-37)+[-(25+33)]+(-17)$(先算括号) $=(-37)+(-58)+(-17)$ $=-(37+58)+(-17)$(从左而右计算) $=(-95)+(-17)$ $=-(95+17)$ $=-112$

习题

习题$10.$计算下列各式的值：

1. $13+[(-8)+(-24)]$
2. $[37+(-54)]-[(-24)-26]$
3. $11+(-22)-[33+(-44)]$

接下来来练习有绝对值的加减混合运算。

例题$26$ 计算$|-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6$之值。

解 $|-23.4|+|(-15.3)-(-1.3)|-26.6$ $=23.4+|(-15.3)+1.3|-26.6$(计算绝对值部分) $=23.4+|-14|-26.6$(先算括号) $=23.4+14-26.6$ $=37.4-26.6$(从左而右计算) $=10.8$

习题

习题$11.$计算下列各式的值：

1. $13+|-8|+(-24)$
2. $|37+24|-|24-37|$
3. $15-|(-8)+(-7)|+|-23|$

去括号规则

观察下列两个表格：

式子	$5{\color {red}-}(7{\color {red}-}3)$	$5{\color {red}-}7{\color {blue}-}3$	$5{\color {red}-}7{\color {red}+}3$
计算结果	$=5-4$ $={\color {red}1}$	$=(-2)-3$ $=(-2)+(-3)$ $=-(2+3)$ $=-5$	$=(-2)+3$ $=+(3-2)$ $={\color {red}1}$

式子	$(-5){\color {red}-}[7{\color {red}+}(-2)]$	$(-5){\color {red}-}7{\color {blue}+}(-2)$	$(-5){\color {red}-}7{\color {red}-}(-2)$
计算结果	$=(-5)-5$ $=(-5)+(-5)$ $=-(5+5)$ $={\color {red}-10}$	$=(-5)+(-7)+(-2)$ $=-(5+7)+(-2)$ $=(-12)+(-2)$ $=(-12+2)$ $=-14$	$=(-5)+(-7)+2$ $=-(5+7)+2$ $=(-12)+2$ $=-(12-2)$ $={\color {red}-10}$

所以括号前的运算符号是$-$，则括号里的运算符号要由加号改成减号，由减号改成加号。
由此推论出以下去括号规则：

设$a$、$b$为两个数，则 $-(a+b)=-a-b$ $-(a-b)=-a+b$ $-(-a+b)=a-b$ $-(-a-b)=a+b$

去括号规则有时可以让我们有更简便的运算。请看以下例题。

例题$27$ 计算$(-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]$之值。

解 $(-15963471)-[(-15963472)-(-12345)]$ $=(-15963471){\color {red}-}[{\color {red}-}15963472{\color {red}+}12345]$ $=(-15963471){\color {red}+}15963472{\color {red}-}12345$ $=1-12345$ $=-12344$

习题

习题$12.$计算下列各式的值：

1. $(-166666)-[(-166664)+(-354)]$
2. $39717185-[(-12349999)-(-39717185)]$

数线上两点之间的距离

参见：数线上两点之间的距离
台湾的中山高速公路中，丰原交流道位于里程南下$168.3$公里处，而从丰原交流道南下最近的服务区为西螺服务区，它位于里程南下$229.3$公里处。雨婷一家人从丰原交流道南下，到最近的西螺服务区有多少公里的距离？同时，以涵一家人从西螺服务区离开，他们要到丰原交流道，则他们要走多少距离？

• 我们知道这两家人只是来回于丰原交流道与西螺服务区之间，所以这两家人移动的距离应该是相同的，而他们移动的距离都是$229.3-168.3=61$公里。

同样的，我们可以将数线想像成高速公路，任意两点也可以考虑它们的距离。在中山高速公路的例子中，我们以南下为正向逐渐增大，所以两地的距离我们计算的方式为用比较大的$229.3$减去比较小的$168.3$，得到$61$的结果。事实上，在数线上也正是如此：

 在數線上任兩點的距離等於兩個點所代表的數當中比較大的數減掉比較小的數的結果。

比方说数线上有两点$A(-7)$与$B(5)$，因为$5>-7$的关系，所以$A$与$B$的距离(我们用${\color {red}{\overline {AB}}}$表示)为$5-(-7)=12$。

• 因为定义上的关系，所以任意两相异点之间的距离都是正数。

虽然这样的定义很容易理解，不过当不确定两个数当中哪个数比较大的时候，这样的定义就会造成麻烦了。比如说$A(a)$与$B(b)$的距离为何？我们就要分别讨论

1. 当$a>b$时，${\overline {AB}}=a-b$。
2. 当$b>a$时，${\overline {AB}}=b-a$。

再一个例子，圆周率大约是$3.14$，它也只是大约而已，圆周率后面有一连串莫名其妙的数字。那在你背不出圆周率完整前$8$位$3.1415926$的情况，你一定认为圆周率比$3.1415923$小，所以就拿圆周率减掉$3.1415923$而出错了。
所以我们一定要有一个办法，无论我们不知道谁大谁小，我们都能表示距离的方法。让我们回到刚刚两点$A(-7)$与$B(5)$的例子，如果反过来做，我们误以为$-7>5$而计算出 $(-7)-5=-12$，咦？跟真正的距离只差一个负号，所以其实我们只要不管性质符号就好。谁能够不管性质符号只管数字呢？那就是绝对值了！于是我们可以修改如下：

 數線上$A(a)$與$B(b)$的距離等於$|a-b|=|b-a|$。

所以管它那么多，$A(-7)$与$B(5)$的距离就是$|5-(-7)|=|(-7)-5|$；圆周率与$3.1415923$的距离为$|$圆周率$-3.1415923|=|3.1415923-$圆周率$|$。
来练习吧。

例题$28$ 数线上有三点$A(7)$、$B(-13)$、$C(-3)$，试求： $(1){\overline {AB}}$ $(2){\overline {AC}}$ $(3){\overline {BC}}$

解 $(1){\overline {AB}}=|7-(-13)|=|20|=20$ $(2){\overline {AC}}=|7-(-3)|=|10|=10$ $(3){\overline {BC}}=|(-13)-(-3)|=|-10|=10$

习题$13.$
数线上有三点$A(3)$、$B(-6)$、$C(-12)$，试求${\overline {AB}}+{\overline {AC}}-{\overline {BC}}$。

中点

参见：中点
在例题$28$中，我们发现$C(-3)$到$A(7)$、$B(-13)$两点的距离都是$10$，所以$C$点在$A$、$B$两点的正中央，我们称$C$点为$A$、$B$两点的中点，也可以说$C$点为${\overline {AB}}$的中点。

 當數線上一點$C$與另外相異兩點$A$、$B$的距離相等，則我們稱$C$點為$A$、$B$兩點的中點，也可以說$C$點為${\overline {AB}}$的中點。

所以要检查一个点是不是中点，只需要计算它到两端点的距离是否相等即可。

习题$14.$
数线上有三点$A(15)$、$B(-11)$、$C(2)$，检查$C$点是否为${\overline {AB}}$的中点。

给定两个点$A(a)$、$B(b)$要怎么找出中点呢？

1. 因为中点到两端点的距离相等，所以先计算到两端点的距离${\overline {AB}}$，中点到$A$点或$B$点的距离都是${\overline {AB}}\div 2$。
2. 若$a<b$，则中点的位置$=a+{\overline {AB}}\div 2$或$=b-{\overline {AB}}\div 2$

例题$29$ 数线上两点$A(19)$、$B(-11)$，试求${\overline {AB}}$的中点坐标。

解 ${\overline {AB}}=|19-(-11)|=|30|=30$，$30\div 2=15$ 因为$-11<19$，所以中点坐标$=-11+15=4$

习题$15.$
数线上有两点$A(-29)$、$B(-17)$，试求${\overline {AB}}$的中点坐标。

不过这又有一个状况了，如果我们想要找出圆周率与$3.14159267$的中点坐标呢？在下一个单元中，我们将导出中点坐标的公式。