高中数学/函数与三角/对数的概念与运算

阅读指南

据说物理学家伽利略·伽利莱曾说过一句不负责任的话：“给我时间、空间和对数，我可以创造一个宇宙。”很难想象如果他成为了造物主，会不会胡乱创造出很多宇宙。

对数产生于对大数乘除法结果的快速估算，可以将乘除法化为加减法进行估算。例如计算2个很大的数a和b的近似乘积，可以先通过专门的对数表查出它们各自对应的对数值$\log(a)$和$\log(b)$，将它们直接相加后，再从表中查询与相加结果对应的数即可。对数表一般是按对数运算特点提前制作好的对照表，后来还流行过更方便的计算尺。著名的原子物理学家恩里科·费米就是习惯使用计算尺。时至今日，不管是在考试还是在实际应用中，对数的主要用途仍然是在代数运算中化乘除运算为加减运算，或是为了方便比较将很大的数压缩为一个很小的数。地震学中里氏地震规模、化学中酸碱度、计算机学中算法复杂度，甚至是音乐理论中简化地表达某些音程差的数量关系（例如十二平均律）时都有用到对数运算后的结果作为数值大小的衡量尺度。

提示：考试时能否携带计算尺请参考考试相关规定。当然，前提是这种古董在文具店里还能够买到。

对数在16世纪末至17世纪初期间由苏格兰数学家约翰·纳皮尔男爵和瑞士工程师约斯特·比尔吉正式发明。对数最初是从几何角度定义的，虽然能简化大数运算，但是其代数特性不是很明显。后来，聪明的莱昂哈德·欧拉发现对数实际上就是指数的反运算，完全可以将指数的运算与对数的运算放在一起类比地学习，因此他建议直接通过指数来定义对数。

预备知识

本节公式特别多。本章的习题也会默认读者已经熟悉初中/国中阶段的指数运算的知识。如果之前完全没有接触过对数的概念，有时可能会无从下笔或记混公式。多找题练手，方能修得正果。

考试要求

在整个高中阶段，需要一口气熟练掌握大量公式的地方只有本章节、三角恒等变换和导数公式这3个章节。

后续课程联系

玩笑：苏联物理学家列夫·朗道喜欢给许多事物以对数指数作为高低排名。如果读者希望了解朗道天才指数（Landau's rank），那么理解对数的含义自然是必不可少的。

基础知识

定义

如果$a\quad (a>0,a\neq 1)$的b次幂等于N，即$a^{b}=N$，那么数字a就叫做以a为底数的N的对数（the logarithm of N to base a）或正实数N关于基底a的对数（the logarithm of a positive real number N with respect to base a），并记作$\log _{a}N=b$，其中a叫做对数的底数（base），N叫做原始数或真数（real number）。

由对数的这个定义可知：

• 符号$\log _{a}N$表示有多少个a连续相乘会等于N，或者说a的多少次幂会等于N。
• 没有以零或以负数为真数N的对数，或者说它们不能作为合法的真数，对它们无法施加取对数值的运算。因为高中学习的是实变量的函数，由$a>0,b\in \mathbb {R}$可知一定有$a^{b}>0$，所以在实数范围并不存在使得真数取零或取负数值的情形。
• $\log _{a}1=0,\log _{a}a=1\quad (a>0,a\neq 1)$

提示：(1)符号“$log$”是对数原名“logarithm”的缩写，后来约翰内斯·开普勒将其简化为“log”。“logarithm”是个拉丁文合成词，是希腊文“lógos”（比例）和“arithmós”（算术）的合称，意为一种与比例有关的算术。(2)符号“$ln$”是拉丁文“logarithmus naturalis”（自然对数）的首字母缩写词。古代欧洲的学者们普遍喜欢用拉丁文进行学术交流，将学问高尚化、精英化、提高其门槛，隔绝了许多底层群众接触学术知识的可能性。(3)因为在计算器和计算机发明以前，使用对数进行近似计算时需要查表对照数值，所以它的中文名就被叫做“对数”。(4)“对数”的值曾经被翻译为“假数”，即“真数”相对应的数。

提示：(1)习惯上$\log _{a}b+c$是指$(\log _{a}b)+c$，而不是指$\log _{a}(b+c)$。(2)习惯上$\log _{a}b^{2}$是指$\log _{a}(b^{2})$，而不是指$(\log _{a}b)^{2}$。

注意：对数的底数取值范围是$(0,1)\cup (1,+\infty )$，解题时不要忘记。

此外，还需要记住2个特殊的对数简记符号：

• 通常将以10为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便，N的常用对数$\log _{10}N$简记作$\lg N$。
• 通常将以特殊无理数$e=2.71828...$为底数的对数叫做常用对数。为了书写简便，N的常用对数$\log _{e}N$简记作$\ln N$。

提示：自然对数的底数e是微积分学中的重要常数，但是在高中阶段只是一个打酱油的存在。除了有关导数的章节，我们在整个高中课程中并不会过多提及它。如果您立志读完高中就去长期打工，那么可以不必担心还需要学习有关它的更多信息。

相关例题1： 把下列各题的指数式写成对数式：(1) $4^{x}=16$；(2) $4^{x}=2$；(3) $3^{x}=81$；(4) $10^{x}=25$。

相关例题2： 把下列各题的对数式写成指数式：(1) $x=\log _{5}25$；(2) $x=\lg 5$。

相关例题3： 根据对数的定义，化简下列各式：

(1) $\log _{25}5$；

(2) $\lg {\frac {1}{10}}$；

(3) $\ln e^{5}$；(4) $\lg 1$。

相关例题4： 若$\log _{2}(\log _{3}(\log _{4}x))=0$，求x的值。

相关例题5： 若$\log _{3}2=x$，求$3^{x}+9^{x}$的值。

运算规律

几个最常用的对数运算律（假定$a,c\in (0,1)\cup (1,+\infty ),M>0,N>0$）：

• 和差关系：$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$，$\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$

证明：设$M=b^{m}$，$N=b^{n}$。
积化和：${\begin{aligned}\log _{a}MN&=\log _{a}b^{m}b^{n}=\log _{a}b^{m+n}=(m+n)\log _{a}b=m\log _{a}b+n\log _{a}b\\&=\log _{a}b^{m}+\log _{a}b^{n}=\log _{a}M+\log _{a}N\end{aligned}}$
商化差：$\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M+\log _{a}{\frac {1}{N}}=\log _{a}M+\log _{a}N^{-1}=\log _{a}M-\log _{a}N$
证明完毕。

• 基变換（换底公式）：$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

证明：设 $\log _{a}b=t$，所以$b=a^{t}$。对两边同时取以$c\quad (c\in (0,1))$为底数的对数，则有$\log _{c}b=\log _{c}a^{t}$。即$\log _{c}b=t\log _{c}a$。又因为$\log _{a}b=t$，所以$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$。证明完毕。

• 指係（次方公式）：$\log _{a^{n}}b^{m}={\frac {m}{n}}\log _{a}b$

证明：$\log _{a^{n}}{b^{m}}={\frac {\ln b^{m}}{\ln a^{n}}}={\frac {m\ln b}{n\ln a}}={\frac {m}{n}}\log _{a}b$。证明完毕。

对数基本运算规律（假定$a,c\in (0,1)\cup (1,+\infty ),M>0,N>0,b>0$）：

名稱	公式
和差	$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$ $\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$
基变換（换底公式）	$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
指係（次方公式）	$\log _{a^{n}}b^{m}={\frac {m}{n}}\log _{a}b$
还原	$a^{\log _{a}x}=x=\log _{a}a^{x}$

相关例题1： 计算下列各式：

(1) $\log _{a}2+\log _{a}{\frac {1}{2}}$；

(2) $\log _{3}18-\log _{3}2$；

(3) $\lg {\frac {1}{4}}-\lg 25$；

(4) $2\log _{5}10+\log _{5}0.25$；

(5) $2\log _{5}25+3\log _{2}64$；

(6) $\log _{2}(\log _{2}16)$。

相关例题2： 用$\log _{a}x$、$\log _{a}y$、$\log _{a}z$、$\log _{a}(x+y)$、$\log _{a}(x-y)$表示下列各式：

(1) $\log _{a}{\frac {\sqrt[{3}]{x}}{y^{2}z}}$；

(2) $\log _{a}(x{\sqrt[{4}]{\frac {z^{3}}{y^{2}}}})$；

(3) $\log _{a}(xy^{\frac {1}{2}}z^{-{\frac {2}{3}}})$；

(4) $\log _{a}{\frac {xy}{x^{2}-y^{2}}}$；

(5) $\log _{a}({\frac {x+y}{x-y}}\times y)$；

(6) $\log _{a}({\frac {y}{x(x-y)}})^{3}$。

相关例题3： 计算下列各式：

(1) $e^{\ln 3}+\log _{\sqrt {5}}25$；

(2) $2^{\ln e+\lg 1}+3^{\log _{3}2}+3^{\log _{3}4-\lg 10}+2^{\ln 1}$；

(3) $2\log _{3}2-\log _{3}{\frac {32}{9}}+\log _{3}8-25^{\log _{5}3}$；

(4) $(\log _{2}5+\log _{4}0.2)\times (\log _{5}2-\log _{25}0.5)$；

(5) $\lg 125+\lg 2\lg 500+(\lg 2)^{2}$；

(6) ${\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times \log _{6}18}{\log _{6}4}}$。

参考解答：
(1)
${\begin{array}{l}e^{\ln 3}+\log _{\sqrt {5}}25=3+\log _{\sqrt {5}}({\sqrt {5}})^{4}\\=3+4\log _{\sqrt {5}}{\sqrt {5}}\\=3+4=7\end{array}}$
(2)
${\begin{array}{l}2^{\ln e+\lg 1}+3^{\log _{3}2}+3^{\log _{3}4-\lg 10}+2^{ln1}\\=2^{1+0}+2+{\frac {3^{\log _{3}4}}{3^{\lg 10}}}+2^{0}\\=2+2+{\frac {4}{3^{1}}}+1\\=5+{\frac {4}{3}}={\frac {19}{3}}\end{array}}$
(3)
${\begin{array}{l}2\log _{3}2-\log _{3}{\frac {32}{9}}+\log _{3}2^{3}-25^{\log _{5}3}\\=2\log _{3}2-\log _{3}{\frac {2^{5}}{3^{2}}}+3\log _{3}2-5^{2\log _{5}3}\\=2\log _{3}2-(\log _{3}2^{5}-\log _{3}3^{2})+3\log _{3}2-5^{\log _{5}3^{2}}\\=2\log _{3}2-(5\log _{3}2-2\log _{3}3)+3\log _{3}2-3^{2}\\=2\log _{3}2-(5\log _{3}2-2)+3\log _{3}2-9\\=2\log _{3}2-5\log _{3}2+2+3\log _{3}2-9\\=(2\log _{3}2-5\log _{3}2+3\log _{3}2)+(2-9)\\=0+(-7)=-7\end{array}}$
(4)
${\begin{array}{l}(\log _{2}5+\log _{2^{2}}0.2)\times (\log _{5}2-\log _{25}0.5)\\=(\log _{2}5+\log _{2^{2}}5^{-1})\times (\log _{5}2-\log _{5^{2}}2^{-1})\\=(\log _{2}5+{\frac {-1}{2}}\log _{2}5)\times (\log _{5}2-{\frac {-1}{2}}\log _{5}2)\\=(\log _{2}5-{\frac {1}{2}}\log _{2}5)\times (\log _{5}2+{\frac {1}{2}}\log _{5}2)\\={\frac {1}{2}}\log _{2}5\times {\frac {3}{2}}\log _{5}2\\=({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}})\cdot (\log _{2}5\log _{5}2)\\={\frac {3}{4}}\cdot 1={\frac {3}{4}}\end{array}}$
(5)
${\begin{array}{l}\lg 125+\lg 2\lg 500+(\lg 2)^{2}\\=\lg(5^{3})+\lg 2\lg(5\times 10^{2})+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+\lg 2(\lg 5+\lg 10^{2})+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+\lg 2(\lg 5+2\lg 10)+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+\lg 2(\lg 5+2)+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+(\lg 2\lg 5+2\lg 2)+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+2\lg 2+(\lg 2\lg 5+(\lg 2)^{2})\\=3\lg 5+2\lg 2+(\lg 5+\lg 2)\lg 2\\=3\lg 5+2\lg 2+\lg(5\times 2)\lg 2\\=3\lg 5+2\lg 2+\lg 10\lg 2\\=3\lg 5+2\lg 2+\lg 2\\=3(\lg 5+\lg 2)\\=3\lg(5\times 2)\\=3\lg 10=3\end{array}}$
(6)
${\begin{array}{l}{\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times \log _{6}18}{\log _{6}4}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times \log _{6}(2\times 3^{2})}{\log _{6}2^{2}}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times (\log _{6}2+\log _{6}3^{2})}{2\log _{6}2}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times (\log _{6}2+2\log _{6}3)}{2\log _{6}2}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+(\log _{6}2)^{2}+2\log _{6}2\log _{6}3}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}3)^{2}+(\log _{6}2)^{2}+2\log _{6}2\log _{6}3}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+((\log _{6}3)^{2}+(\log _{6}2)^{2}+2\log _{6}2\log _{6}3)}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}3+\log _{6}2)^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}(3\times 2))^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}6)^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+1^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {2(1-\log _{6}3)}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-\log _{6}3}{\log _{6}2}}\\={\frac {1}{\log _{6}2}}-{\frac {\log _{6}3}{\log _{6}2}}\\=\log _{2}6-\log _{2}3\\=\log _{2}{\frac {6}{3}}\\=\log _{2}2=1\\\end{array}}$

答案：(1)$7$；(2)${\frac {19}{3}}$；(3)$3$；(4)$-7$；(5)${\frac {3}{4}}$；(6)$1$。

相关例题4： 求证对数互換律：$M^{\log _{a}N}=N^{\log _{a}M}$。

参考证明：对等式两边同时取对数可得：
$\log _{a}M^{\log _{a}N}=\log _{a}N^{\log _{a}M}\quad \Leftrightarrow \quad \log _{a}N\log _{a}M=\log _{a}M\log _{a}N$
最后一个式子显然成立，证明完毕。

相关例题5： 求证对数倒数关系：$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$。

参考证明：$\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}={\dfrac {1}{\dfrac {\ln a}{\ln b}}}={\frac {1}{\log _{b}a}}$。

相关例题6： 求证对数链式关系：$\log _{a}b\log _{b}c=\log _{a}c$。

参考证明：$\log _{a}b\log _{b}c={\frac {\ln c}{\ln b}}{\frac {\ln b}{\ln a}}={\frac {\ln c}{\ln a}}=\log _{a}c$。

相关例题7：已知函数$f(x)={\frac {1}{1+3^{x}}}$，求$f(\lg 3)+f(\lg {\frac {1}{3}})$。

相关例题8：设$2^{a}=5^{b}=m$，且${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}=2$，求m的值。

相关例题9：已知x、y、z都是大于1的数，$m>0,\log _{x}m=24,\log _{y}m=40,\log _{xyz}m=12$，求$\log _{z}m$的值。

相关例题10：已知$3^{x}=4^{y}=6$，求${\frac {2}{x}}+{\frac {1}{y}}$的值。

相关例题11： 已知实数a和b满足$\log _{a}b-3\log _{b}a=2,a^{a}=b^{b}$，求$a+b$的值。

提示：解答本题需要先求出a和b的值。可以利用对数的倒数关系$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$先求出$\log _{a}b$的值，再带入另一个已知条件$a^{a}=b^{b}$中求值；也可以先利用换底公式、两边同时对数等技巧分别对2个已知式子变形，再求出a与b的关系，然后再求出二者之一。

参考解答：
首先，对$a^{a}=b^{b}$的两边同时取对数可得$a\ln a=b\ln b$。
其次，$\log _{a}b-3\log _{b}a=2$等价于${\frac {\ln b}{\ln a}}-{\frac {3\ln a}{\ln b}}=2$。
将$a\ln a=b\ln b$带入上式可得：
${\frac {a}{b}}-{\frac {3b}{a}}=2\quad \Rightarrow \quad a^{2}-3b^{2}=2ab\quad \Rightarrow \quad a^{2}-2ab+b^{2}-4b^{2}=0\quad \Rightarrow \quad (a-b)^{2}=4b^{2}\quad \Rightarrow \quad a-b=\pm 2b$
因为$a,b>0$，所以不可能出现正数b减去另一个正数a之后等于自己的2倍大小的情形。所以上式的唯一可能性为$a-b=2b$，解得$a=3b$。
再将a与b的这个比例关系带入$a\ln a=b\ln b$可得：
$3b\ln(3b)=b\ln b\quad \Rightarrow \quad (3b)^{3}=b\quad \Rightarrow \quad b={\frac {\sqrt {3}}{9}}$
得到b的值后，可求得$a=3b={\frac {\sqrt {3}}{9}}$。故$a+b={\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}$。

答案：${\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}$。

相关例题12：已知$\log _{a}3=m,\log _{a}2=n\quad (a>0,a\neq 1)$。

(1) 求$a^{m+2n}$的值。

(2) 若$0<x<1,x+x^{-1}=a,m+n=\log _{3}2+1$，求$x^{2}+x^{-2}$的值。

提示：解答第2问时需要利用恒等式$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=(x+{\frac {1}{x}})^{2}-2$。

参考解答：
(1)由$log_{a}3=m$可知$a^{m}=3$，由$\log _{a}2=n$可知$a^{n}=2$。
故$a^{m+2n}=a^{m}a^{2n}=a^{m}(a^{n})^{2}=3\times (2)^{2}=12$。
(2)$m+n=\log _{3}2+1\quad \Rightarrow \quad \log _{a}3+\log _{a}2=\log _{3}2+\log _{3}3\quad \Rightarrow \quad \log _{a}(3\times 2)=\log _{3}(3\times 2)\quad \Rightarrow \quad a=3$
从而$x+{\frac {1}{x}}=a=3\quad \Rightarrow \quad x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=(x+{\frac {1}{x}})^{2}-2=3^{2}-2=7$

答案：(1)12；(2)7。

对数的原始定义

对数最初是使用几何方式定义的。

补充习题

• 已知a、b、c是三角形ABC的3条边，且关于x的二次方程$x^{2}-2x+\lg(c^{2}-b^{2})-2\lg a+1=0$有2个相等的实数根，则此三角形的形状是(    )。
  

A.锐角三角形；B.直角三角形；C.钝角三角形；D.等边三角形

• 计算$(\lg 2)^{2}+\lg 5\times \lg 20-1$。

参考解答：
${\begin{aligned}&(\lg 2)^{2}+\lg 5\times \lg 20-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 5\times \lg(4\times 5)-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 5\times (\lg 4+\lg 5)-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 4\times \lg 5+(\lg 5)^{2}-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 2^{2}\times \lg 5+(\lg 5)^{2}-1\\&=(\lg 2)^{2}+2\lg 2\times \lg 5+(\lg 5)^{2}-1\\&=(\lg 2+\lg 5)^{2}-1=(\lg(2\times 5))^{2}-1\\&=(\lg 10)^{2}-1=1^{2}-1=0\end{aligned}}$

答案：0。

• 已知里氏地震等级R与地震波释放的能量E的关系为$R={\frac {2}{3}}(\lg E-11.4)$，求9级地震释放的能量是8级地震的释放能量的多少倍？

外部链接

维基百科中的相关条目：

对数