高中數學/函數與三角/對數的概念與運算

閱讀指南

據說物理學家伽利略·伽利萊曾說過一句不負責任的話：「給我時間、空間和對數，我可以創造一個宇宙。」很難想像如果他成為了造物主，會不會胡亂創造出很多宇宙。

對數產生於對大數乘除法結果的快速估算，可以將乘除法化為加減法進行估算。例如計算2個很大的數a和b的近似乘積，可以先通過專門的對數表查出它們各自對應的對數值$\log(a)$和$\log(b)$，將它們直接相加後，再從表中查詢與相加結果對應的數即可。對數表一般是按對數運算特點提前製作好的對照表，後來還流行過更方便的計算尺。著名的原子物理學家恩里科·費米就是習慣使用計算尺。時至今日，不管是在考試還是在實際應用中，對數的主要用途仍然是在代數運算中化乘除運算為加減運算，或是為了方便比較將很大的數壓縮為一個很小的數。地震學中黎克特制、化學中酸鹼度、計算機學中算法複雜度，甚至是音樂理論中簡化地表達某些音程差的數量關係（例如十二平均律）時都有用到對數運算後的結果作為數值大小的衡量尺度。

提示：考試時能否攜帶計算尺請參考考試相關規定。當然，前提是這種古董在文具店裏還能夠買到。

對數在16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉正式發明。對數最初是從幾何角度定義的，雖然能簡化大數運算，但是其代數特性不是很明顯。後來，聰明的萊昂哈德·歐拉發現對數實際上就是指數的反運算，完全可以將指數的運算與對數的運算放在一起類比地學習，因此他建議直接通過指數來定義對數。

預備知識

本節公式特別多。本章的習題也會默認讀者已經熟悉初中/國中階段的指數運算的知識。如果之前完全沒有接觸過對數的概念，有時可能會無從下筆或記混公式。多找題練手，方能修得正果。

考試要求

在整個高中階段，需要一口氣熟練掌握大量公式的地方只有本章節、三角恆等變換和導數公式這3個章節。

後續課程聯繫

玩笑：蘇聯物理學家列夫·朗道喜歡給許多事物以對數指數作為高低排名。如果讀者希望了解朗道天才指數（Landau's rank），那麼理解對數的含義自然是必不可少的。

基礎知識

定義

如果$a\quad (a>0,a\neq 1)$的b次冪等於N，即$a^{b}=N$，那麼數字a就叫做以a為底數的N的對數（the logarithm of N to base a）或正實數N關於基底a的對數（the logarithm of a positive real number N with respect to base a），並記作$\log _{a}N=b$，其中a叫做對數的底數（base），N叫做原始數或真數（real number）。

由對數的這個定義可知：

• 符號$\log _{a}N$表示有多少個a連續相乘會等於N，或者說a的多少次冪會等於N。
• 沒有以零或以負數為真數N的對數，或者說它們不能作為合法的真數，對它們無法施加取對數值的運算。因為高中學習的是實變量的函數，由$a>0,b\in \mathbb {R}$可知一定有$a^{b}>0$，所以在實數範圍並不存在使得真數取零或取負數值的情形。
• $\log _{a}1=0,\log _{a}a=1\quad (a>0,a\neq 1)$

提示：(1)符號「$log$」是對數原名「logarithm」的縮寫，後來約翰內斯·開普勒將其簡化為「log」。「logarithm」是個拉丁文合成詞，是希臘文「lógos」（比例）和「arithmós」（算術）的合稱，意為一種與比例有關的算術。(2)符號「$ln$」是拉丁文「logarithmus naturalis」（自然對數）的首字母縮寫詞。古代歐洲的學者們普遍喜歡用拉丁文進行學術交流，將學問高尚化、精英化、提高其門檻，隔絕了許多底層群眾接觸學術知識的可能性。(3)因為在計算器和計算機發明以前，使用對數進行近似計算時需要查表對照數值，所以它的中文名就被叫做「對數」。(4)「對數」的值曾經被翻譯為「假數」，即「真數」相對應的數。

提示：(1)習慣上$\log _{a}b+c$是指$(\log _{a}b)+c$，而不是指$\log _{a}(b+c)$。(2)習慣上$\log _{a}b^{2}$是指$\log _{a}(b^{2})$，而不是指$(\log _{a}b)^{2}$。

注意：對數的底數取值範圍是$(0,1)\cup (1,+\infty )$，解題時不要忘記。

此外，還需要記住2個特殊的對數簡記符號：

• 通常將以10為底數的對數叫做常用對數。為了書寫簡便，N的常用對數$\log _{10}N$簡記作$\lg N$。
• 通常將以特殊無理數$e=2.71828...$為底數的對數叫做常用對數。為了書寫簡便，N的常用對數$\log _{e}N$簡記作$\ln N$。

提示：自然對數的底數e是微積分學中的重要常數，但是在高中階段只是一個打醬油的存在。除了有關導數的章節，我們在整個高中課程中並不會過多提及它。如果您立志讀完高中就去長期打工，那麼可以不必擔心還需要學習有關它的更多信息。

相關例題1： 把下列各題的指數式寫成對數式：(1) $4^{x}=16$；(2) $4^{x}=2$；(3) $3^{x}=81$；(4) $10^{x}=25$。

相關例題2： 把下列各題的對數式寫成指數式：(1) $x=\log _{5}25$；(2) $x=\lg 5$。

相關例題3： 根據對數的定義，化簡下列各式：

(1) $\log _{25}5$；

(2) $\lg {\frac {1}{10}}$；

(3) $\ln e^{5}$；(4) $\lg 1$。

相關例題4： 若$\log _{2}(\log _{3}(\log _{4}x))=0$，求x的值。

相關例題5： 若$\log _{3}2=x$，求$3^{x}+9^{x}$的值。

運算規律

幾個最常用的對數運算律（假定$a,c\in (0,1)\cup (1,+\infty ),M>0,N>0$）：

• 和差關係：$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$，$\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$

證明：設$M=b^{m}$，$N=b^{n}$。
積化和：${\begin{aligned}\log _{a}MN&=\log _{a}b^{m}b^{n}=\log _{a}b^{m+n}=(m+n)\log _{a}b=m\log _{a}b+n\log _{a}b\\&=\log _{a}b^{m}+\log _{a}b^{n}=\log _{a}M+\log _{a}N\end{aligned}}$
商化差：$\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M+\log _{a}{\frac {1}{N}}=\log _{a}M+\log _{a}N^{-1}=\log _{a}M-\log _{a}N$
證明完畢。

• 基變換（換底公式）：$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

證明：設 $\log _{a}b=t$，所以$b=a^{t}$。對兩邊同時取以$c\quad (c\in (0,1))$為底數的對數，則有$\log _{c}b=\log _{c}a^{t}$。即$\log _{c}b=t\log _{c}a$。又因為$\log _{a}b=t$，所以$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$。證明完畢。

• 指係（次方公式）：$\log _{a^{n}}b^{m}={\frac {m}{n}}\log _{a}b$

證明：$\log _{a^{n}}{b^{m}}={\frac {\ln b^{m}}{\ln a^{n}}}={\frac {m\ln b}{n\ln a}}={\frac {m}{n}}\log _{a}b$。證明完畢。

對數基本運算規律（假定$a,c\in (0,1)\cup (1,+\infty ),M>0,N>0,b>0$）：

名稱	公式
和差	$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$ $\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$
基變換（換底公式）	$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$
指係（次方公式）	$\log _{a^{n}}b^{m}={\frac {m}{n}}\log _{a}b$
還原	$a^{\log _{a}x}=x=\log _{a}a^{x}$

相關例題1： 計算下列各式：

(1) $\log _{a}2+\log _{a}{\frac {1}{2}}$；

(2) $\log _{3}18-\log _{3}2$；

(3) $\lg {\frac {1}{4}}-\lg 25$；

(4) $2\log _{5}10+\log _{5}0.25$；

(5) $2\log _{5}25+3\log _{2}64$；

(6) $\log _{2}(\log _{2}16)$。

相關例題2： 用$\log _{a}x$、$\log _{a}y$、$\log _{a}z$、$\log _{a}(x+y)$、$\log _{a}(x-y)$表示下列各式：

(1) $\log _{a}{\frac {\sqrt[{3}]{x}}{y^{2}z}}$；

(2) $\log _{a}(x{\sqrt[{4}]{\frac {z^{3}}{y^{2}}}})$；

(3) $\log _{a}(xy^{\frac {1}{2}}z^{-{\frac {2}{3}}})$；

(4) $\log _{a}{\frac {xy}{x^{2}-y^{2}}}$；

(5) $\log _{a}({\frac {x+y}{x-y}}\times y)$；

(6) $\log _{a}({\frac {y}{x(x-y)}})^{3}$。

相關例題3： 計算下列各式：

(1) $e^{\ln 3}+\log _{\sqrt {5}}25$；

(2) $2^{\ln e+\lg 1}+3^{\log _{3}2}+3^{\log _{3}4-\lg 10}+2^{\ln 1}$；

(3) $2\log _{3}2-\log _{3}{\frac {32}{9}}+\log _{3}8-25^{\log _{5}3}$；

(4) $(\log _{2}5+\log _{4}0.2)\times (\log _{5}2-\log _{25}0.5)$；

(5) $\lg 125+\lg 2\lg 500+(\lg 2)^{2}$；

(6) ${\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times \log _{6}18}{\log _{6}4}}$。

參考解答：
(1)
${\begin{array}{l}e^{\ln 3}+\log _{\sqrt {5}}25=3+\log _{\sqrt {5}}({\sqrt {5}})^{4}\\=3+4\log _{\sqrt {5}}{\sqrt {5}}\\=3+4=7\end{array}}$
(2)
${\begin{array}{l}2^{\ln e+\lg 1}+3^{\log _{3}2}+3^{\log _{3}4-\lg 10}+2^{ln1}\\=2^{1+0}+2+{\frac {3^{\log _{3}4}}{3^{\lg 10}}}+2^{0}\\=2+2+{\frac {4}{3^{1}}}+1\\=5+{\frac {4}{3}}={\frac {19}{3}}\end{array}}$
(3)
${\begin{array}{l}2\log _{3}2-\log _{3}{\frac {32}{9}}+\log _{3}2^{3}-25^{\log _{5}3}\\=2\log _{3}2-\log _{3}{\frac {2^{5}}{3^{2}}}+3\log _{3}2-5^{2\log _{5}3}\\=2\log _{3}2-(\log _{3}2^{5}-\log _{3}3^{2})+3\log _{3}2-5^{\log _{5}3^{2}}\\=2\log _{3}2-(5\log _{3}2-2\log _{3}3)+3\log _{3}2-3^{2}\\=2\log _{3}2-(5\log _{3}2-2)+3\log _{3}2-9\\=2\log _{3}2-5\log _{3}2+2+3\log _{3}2-9\\=(2\log _{3}2-5\log _{3}2+3\log _{3}2)+(2-9)\\=0+(-7)=-7\end{array}}$
(4)
${\begin{array}{l}(\log _{2}5+\log _{2^{2}}0.2)\times (\log _{5}2-\log _{25}0.5)\\=(\log _{2}5+\log _{2^{2}}5^{-1})\times (\log _{5}2-\log _{5^{2}}2^{-1})\\=(\log _{2}5+{\frac {-1}{2}}\log _{2}5)\times (\log _{5}2-{\frac {-1}{2}}\log _{5}2)\\=(\log _{2}5-{\frac {1}{2}}\log _{2}5)\times (\log _{5}2+{\frac {1}{2}}\log _{5}2)\\={\frac {1}{2}}\log _{2}5\times {\frac {3}{2}}\log _{5}2\\=({\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{2}})\cdot (\log _{2}5\log _{5}2)\\={\frac {3}{4}}\cdot 1={\frac {3}{4}}\end{array}}$
(5)
${\begin{array}{l}\lg 125+\lg 2\lg 500+(\lg 2)^{2}\\=\lg(5^{3})+\lg 2\lg(5\times 10^{2})+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+\lg 2(\lg 5+\lg 10^{2})+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+\lg 2(\lg 5+2\lg 10)+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+\lg 2(\lg 5+2)+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+(\lg 2\lg 5+2\lg 2)+(\lg 2)^{2}\\=3\lg 5+2\lg 2+(\lg 2\lg 5+(\lg 2)^{2})\\=3\lg 5+2\lg 2+(\lg 5+\lg 2)\lg 2\\=3\lg 5+2\lg 2+\lg(5\times 2)\lg 2\\=3\lg 5+2\lg 2+\lg 10\lg 2\\=3\lg 5+2\lg 2+\lg 2\\=3(\lg 5+\lg 2)\\=3\lg(5\times 2)\\=3\lg 10=3\end{array}}$
(6)
${\begin{array}{l}{\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times \log _{6}18}{\log _{6}4}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times \log _{6}(2\times 3^{2})}{\log _{6}2^{2}}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times (\log _{6}2+\log _{6}3^{2})}{2\log _{6}2}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+\log _{6}2\times (\log _{6}2+2\log _{6}3)}{2\log _{6}2}}\\={\frac {(1-\log _{6}3)^{2}+(\log _{6}2)^{2}+2\log _{6}2\log _{6}3}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}3)^{2}+(\log _{6}2)^{2}+2\log _{6}2\log _{6}3}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+((\log _{6}3)^{2}+(\log _{6}2)^{2}+2\log _{6}2\log _{6}3)}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}3+\log _{6}2)^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}(3\times 2))^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+(\log _{6}6)^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-2\log _{6}3+1^{2}}{2\log _{6}2}}\\={\frac {2(1-\log _{6}3)}{2\log _{6}2}}\\={\frac {1-\log _{6}3}{\log _{6}2}}\\={\frac {1}{\log _{6}2}}-{\frac {\log _{6}3}{\log _{6}2}}\\=\log _{2}6-\log _{2}3\\=\log _{2}{\frac {6}{3}}\\=\log _{2}2=1\\\end{array}}$

答案：(1)$7$；(2)${\frac {19}{3}}$；(3)$3$；(4)$-7$；(5)${\frac {3}{4}}$；(6)$1$。

相關例題4： 求證對數互換律：$M^{\log _{a}N}=N^{\log _{a}M}$。

參考證明：對等式兩邊同時取對數可得：
$\log _{a}M^{\log _{a}N}=\log _{a}N^{\log _{a}M}\quad \Leftrightarrow \quad \log _{a}N\log _{a}M=\log _{a}M\log _{a}N$
最後一個式子顯然成立，證明完畢。

相關例題5： 求證對數倒數關係：$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$。

參考證明：$\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a}}={\dfrac {1}{\dfrac {\ln a}{\ln b}}}={\frac {1}{\log _{b}a}}$。

相關例題6： 求證對數鏈式關係：$\log _{a}b\log _{b}c=\log _{a}c$。

參考證明：$\log _{a}b\log _{b}c={\frac {\ln c}{\ln b}}{\frac {\ln b}{\ln a}}={\frac {\ln c}{\ln a}}=\log _{a}c$。

相關例題7：已知函數$f(x)={\frac {1}{1+3^{x}}}$，求$f(\lg 3)+f(\lg {\frac {1}{3}})$。

相關例題8：設$2^{a}=5^{b}=m$，且${\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}=2$，求m的值。

相關例題9：已知x、y、z都是大於1的數，$m>0,\log _{x}m=24,\log _{y}m=40,\log _{xyz}m=12$，求$\log _{z}m$的值。

相關例題10：已知$3^{x}=4^{y}=6$，求${\frac {2}{x}}+{\frac {1}{y}}$的值。

相關例題11： 已知實數a和b滿足$\log _{a}b-3\log _{b}a=2,a^{a}=b^{b}$，求$a+b$的值。

提示：解答本題需要先求出a和b的值。可以利用對數的倒數關係$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$先求出$\log _{a}b$的值，再帶入另一個已知條件$a^{a}=b^{b}$中求值；也可以先利用換底公式、兩邊同時對數等技巧分別對2個已知式子變形，再求出a與b的關係，然後再求出二者之一。

參考解答：
首先，對$a^{a}=b^{b}$的兩邊同時取對數可得$a\ln a=b\ln b$。
其次，$\log _{a}b-3\log _{b}a=2$等價於${\frac {\ln b}{\ln a}}-{\frac {3\ln a}{\ln b}}=2$。
將$a\ln a=b\ln b$帶入上式可得：
${\frac {a}{b}}-{\frac {3b}{a}}=2\quad \Rightarrow \quad a^{2}-3b^{2}=2ab\quad \Rightarrow \quad a^{2}-2ab+b^{2}-4b^{2}=0\quad \Rightarrow \quad (a-b)^{2}=4b^{2}\quad \Rightarrow \quad a-b=\pm 2b$
因為$a,b>0$，所以不可能出現正數b減去另一個正數a之後等於自己的2倍大小的情形。所以上式的唯一可能性為$a-b=2b$，解得$a=3b$。
再將a與b的這個比例關係帶入$a\ln a=b\ln b$可得：
$3b\ln(3b)=b\ln b\quad \Rightarrow \quad (3b)^{3}=b\quad \Rightarrow \quad b={\frac {\sqrt {3}}{9}}$
得到b的值後，可求得$a=3b={\frac {\sqrt {3}}{9}}$。故$a+b={\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}$。

答案：${\frac {4{\sqrt {3}}}{9}}$。

相關例題12：已知$\log _{a}3=m,\log _{a}2=n\quad (a>0,a\neq 1)$。

(1) 求$a^{m+2n}$的值。

(2) 若$0<x<1,x+x^{-1}=a,m+n=\log _{3}2+1$，求$x^{2}+x^{-2}$的值。

提示：解答第2問時需要利用恆等式$x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=(x+{\frac {1}{x}})^{2}-2$。

參考解答：
(1)由$log_{a}3=m$可知$a^{m}=3$，由$\log _{a}2=n$可知$a^{n}=2$。
故$a^{m+2n}=a^{m}a^{2n}=a^{m}(a^{n})^{2}=3\times (2)^{2}=12$。
(2)$m+n=\log _{3}2+1\quad \Rightarrow \quad \log _{a}3+\log _{a}2=\log _{3}2+\log _{3}3\quad \Rightarrow \quad \log _{a}(3\times 2)=\log _{3}(3\times 2)\quad \Rightarrow \quad a=3$
從而$x+{\frac {1}{x}}=a=3\quad \Rightarrow \quad x^{2}+{\frac {1}{x^{2}}}=(x+{\frac {1}{x}})^{2}-2=3^{2}-2=7$

答案：(1)12；(2)7。

對數的原始定義

對數最初是使用幾何方式定義的。

補充習題

• 已知a、b、c是三角形ABC的3條邊，且關於x的二次方程$x^{2}-2x+\lg(c^{2}-b^{2})-2\lg a+1=0$有2個相等的實數根，則此三角形的形狀是(    )。
  

A.銳角三角形；B.直角三角形；C.鈍角三角形；D.等邊三角形

• 計算$(\lg 2)^{2}+\lg 5\times \lg 20-1$。

參考解答：
${\begin{aligned}&(\lg 2)^{2}+\lg 5\times \lg 20-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 5\times \lg(4\times 5)-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 5\times (\lg 4+\lg 5)-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 4\times \lg 5+(\lg 5)^{2}-1\\&=(\lg 2)^{2}+\lg 2^{2}\times \lg 5+(\lg 5)^{2}-1\\&=(\lg 2)^{2}+2\lg 2\times \lg 5+(\lg 5)^{2}-1\\&=(\lg 2+\lg 5)^{2}-1=(\lg(2\times 5))^{2}-1\\&=(\lg 10)^{2}-1=1^{2}-1=0\end{aligned}}$

答案：0。

• 已知黎克特制地震等級R與地震波釋放的能量E的關係為$R={\frac {2}{3}}(\lg E-11.4)$，求9級地震釋放的能量是8級地震的釋放能量的多少倍？

外部連結

維基百科中的相關條目：

對數