微积分学/极限/极限与连续

连续是函数的一种属性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的（或者说具有不连续性）。

举例来说，考虑描述一棵树的高度随时间而变化的函数$h(t)$，那么这个函数是连续的（除非树被砍断）。又例如，假设$T(P)$表示地球上某一点$P$的空气温度，则这个函数也是连续的。事实上，古典物理学中有一句格言：“自然界中，一切都是连续的。” 相比之下，如果$M(t)$表述在时间t的时候银行账户上的钱币金额，则这个函数无论在存钱或者取钱的时候都会有跳跃，因此函数$M(t)$是不连续的。

定义

对函数连续性的严格定义需要用到极限的概念。我们学习了极限的概念后，已经拥有了定义何为连续函数的知识基础。首先我们定义函数在一点上的连续性：

定义（函数在一点的连续性）

设函数$f(x)$在某一点$c$的一个邻域上有定义，则函数$f$在$c$点连续 当且仅当$f$在$x$趋于$c$时的极限等于$f$在$c$的值：

$\lim _{x\rightarrow c}f(x)=f(c)$.

从定义中可以看出，函数$f(x)$在某一点$c$连续需要满足三个条件：

1. 函数在$c$点及其附近有定义，也就是说$f(c)$存在；
2. 函数在$x$趋于$c$时的极限存在；
3. 这个极限等于$f$在$c$的值$f(c)$。

这三个条件缺一不可。如果函数不满足其中的一个或多个条件，就称这一点为函数$f$的间断点。

我们也可以重新用$\delta -\epsilon$的方式给出函数在一点连续的定义：

定义（函数在一点的连续性，$\delta -\epsilon$定义）
设有函数$f\,:\;\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$。$c$是$\mathbb {D}$中一点，并且$f$在$c$的一个邻域上有定义。如果对任意的正实数$\epsilon$，都存在正实数$\delta$，使得对任意$x\in \mathbb {D}$，只要$\vert x-c\vert \leqslant \delta$，就有$\vert f(x)-f(c)\vert \leqslant \epsilon$，那么就说$f$在$c$处连续。

从定义上来看，函数在一点的连续性是函数的一个局部性质。我们还可以定义函数在区间上的连续性：

定义（函数在开区间上的连续性）
设有函数$f\,:\;\mathbb {D} \subset \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$。如果函数在$(a,b)\subset \mathbb {D}$上的每一点都连续，那么就称$f$在$(a,b)$上连续，或称$f$是$(a,b)$上的连续函数。

如果函数在整个实数轴上都连续或在自己的定义域上连续，我们简称函数是连续函数。初等函数在定义域上连续，所以我们称初等函数都是连续函数。

间断点

函数的间断点，也就是不连续的点。间断点有很多种类，实数轴上的函数的间断点大致可以分为四类。

可去间断点

可去间断点，函数在红点处无定义，但只要将红点处补上，就是连续函数。

可去间断点指的是函数在某一点上没有定义，但在这一点有极限。这时候，只要为函数在这一点上“补上”这个极限值，就可以将这个间断点变成一个连续点。例如函数$f(x)=x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$在$x=0$处没有定义，但$f$在$x$趋于$0$有极限：

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=0.$

所以只要将$f$重新定义为：

$f(x)={\begin{cases}x\sin \left({\frac {1}{x}}\right),&\forall x\neq 0\\0,&x=0\end{cases}}.$

那么$f$就是一个连续的函数。

跳跃间断点

阶梯函数在0处有一个跳跃间断点。

跳跃间断点指的是函数在某一点的左极限和右极限都存在并有限，但两者不相等。这时候函数在这一点可以是有定义，也可以是无定义，但无论这一点的函数值为何，都无法使得函数连续。比如右图中的阶梯函数$k(x)$：

$k(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&\forall x>0\\-1,&\forall x\leqslant 0\end{matrix}}\right.$

它在$0$点左侧的极限是$-1$，右极限是$1$，所以无论在$0$点的取值是$-1$还是$1$，都不会使得函数在$0$点处连续。

无穷型间断点

无穷型间断点指的是函数在某一点附近趋于无穷大，或者仅仅在某一侧趋于无穷大，这时候函数的间断点同样无法用“补上一点”的方法去掉。比如倒数函数：

$f\,:\;x\mapsto {\frac {1}{x}}.$

在$0$点左侧的极限是负无穷大，右极限是正无穷大。所以无论在$0$点的取值如何，都不会使得函数在$0$点处连续。无穷型间断点可以看做是跳跃间断点的特殊的一种。

无极限间断点

除了以上的几类间断点，还有的间断点是函数在趋于这一点时没有极限，比如函数$f(x)=\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$在$x=0$处没有定义，也没有极限，因为在$0$点附近，函数以越来越快的频率“振荡”，所以在趋于$0$点时既不会趋向某个值，也不会趋向无穷大。

除了第一类间断点外，另外三类间断点都是不可去的。把函数所有可去间断点“去掉”后得到的新函数叫做函数的拓延。

单侧连续性

和单侧极限类似，我们也可以定义函数在某一点的单侧连续性。函数在一点左（右）连续，如果它在这一点的左（右）极限等于它在这一点的值。和单侧极限的性质类似，函数在某一点连续，当且仅当函数在某一点左连续而且右连续。

定义了单侧连续之后，我们就可以定义函数在闭区间上的连续性。

定义（函数在闭区间上的连续性）

设函数$f(x)$在某个闭区间$[a,b]$上有定义，则函数$f$在$[a,b]$上连续当且仅当

1. $f$在开区间$(a,b)$上连续；
2. $f$在点$a$处右连续；
3. $f$在点$b$处左连续。

连续的函数有许多良好的性质，可以帮助我们解决许多问题。

介值定理

介值定理描述了连续函数的值域，是一个很有用的定理：

介值定理
设函数$f$在某个闭区间$[a,b]$上连续，那么对于所有介于$f(a)$和$f(b)$的实数$k$，都存在一个介于$a$和$b$之间的实数$a\leqslant c\leqslant b$，使得$f(c)=k$。