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微积分学/极限/极限的性质

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极限/极限的性质

上一节中我们给出了数列和函数的极限的定义。以下我们将研究与极限相关的一些性质。如上一节的评论中最后一条指出的,数列的极限可以看成是函数极限的特列,所以我们将主要讨论函数极限的性质,间或给出数列极限的情况。

极限的性质编辑

性质 1(极限的唯一性):
函数在某点或无穷远处的极限(数列的极限)如果存在(无论是一个确定的数值还是无穷大),那么只有一个。

这个性质告诉我们,求某个函数或数列的极限时,只需要找到一个极限值就可以了。这个性质也可以用于证明极限不存在。

例一

证明函数  趋于正无穷大时没有极限。这里的证明会运用反证法

假设函数  趋于正无穷大时有极限,那么由性质 1可知,极限只有一个。设这个极限为 。根据极限的定义,对任意的正实数 ,都存在正实数 ,使得对任意 ,都有 。现选取 ,则存在对应的 。选择一个 ,使得 ,那么 。这时候 的值是:  ,所以有

 

也就是说,极限 同时满足  ,但这不可能,因为这两个区间交集是空集(没有共同元素)。综上所述,初始的假设不成立,函数  趋于正无穷大时没有极限。

性质 2(极限的局部有界性):
如果函数 在某点 有(有限的)极限 ,那么函数  附近有界。

这个性质可以从极限的定义导出。由于 离点 足够近的时候,  的差别就会足够小,所以不可能趋于无穷大。这个性质还有若干个不同的版本,比如,如果函数 在某点 有(有限的)极限 ,那么对一个大于 的常数 ,函数  附近必然小于常数 

性质 3(极限的保号性):

如果一个函数在某一点附近大于等于0,并且在趋于这一点时有极限,那么极限也大于等于0。

如果一个函数在自变量充分大(充分小)的时候恒大于等于0,并且在正无穷(负无穷)处有极限,那么极限也大于等于0.

如果一个数列的每一项都大于等于0,并且有极限,那么它的极限大于等于0.

极限的保号性在证明不等式或求极限的时候都有用处。需要注意的是,即使函数在一点附近严格大于0,极限也可能等于0,所以保号性只限于宽松的不等号,而不能应用于严格的不等号:一个函数在某一点附近严格大于0,并且在趋于这一点时有极限,并不能推出极限也大于0。

从极限的保号性可以推出极限的另一个性质:

推论 1:

如果两个函数  在某一点 附近有极限: 

并且 总是大于等于 ,那么极限 

如果两个函数  在自变量充分大(充分小)的时候有极限,比如: 

并且 恒大于等于 ,那么极限 

如果两个数列  都有极限: 

并且 ,那么极限 

例二

证明 

让我们计算单位圆内接正多边形的面积   的时候,面积 。使用平面几何可以证明 ,并且由于正多边形随着边数的增加越来越近似圆形,我们有 考虑数列:

 

数列 的每一项都比前一项大,所以 ,所以根据性质 3

 

性质 3还可以推出一个在实际中十分有用的结果:

推论 2(夹逼定理):

如果两个函数  在某一点 附近有同一个极限: 

并且另一个函数 总是介于  之间: 

那么 在点 附近也有极限,并且极限是 

如果两个函数  在自变量充分大(充分小)的时候有同一个极限,比如: 

并且另一个函数 总是介于  之间: 

那么 在趋向正无穷大时也有极限,并且极限是 

如果两个数列  都有同一个极限: 

并且另一个数列 总是介于  之间: 

那么数列 的极限也存在,并且极限是 

夹逼定理有助于解决许多求极限的问题。当一个函数(或数列)的极限比较难求的时候,可以用两个函数“夹迫”它,然后证明这两个函数有相同的极限,然后运用夹逼定理就可以得到原来的函数也有相同的极限。

例三

求函数  趋于 时的极限。

这是一个很重要的基本极限。首先从几何上可以证明如下的不等关系:

 

然而两边的函数   趋于 时的极限都是1,所以根据夹逼定理,  趋于 时的极限也是1。

例四

求数列 的极限。

欲运用夹逼定理求数列 的极限,则需要对每一项 进行上限和下限的估计。首先显然有: ,另一方面, 。而我们知道: ,所以 。所以根据夹逼定理,数列 的极限是 

性质 4(极限的运算法则):

假设函数   趋于某一点 时有(有限的)极限:

 

那么:

  1.   的和函数在 附近有极限,而且 
  2.   的差函数在 附近有极限,而且 
  3.   的乘积函数在 附近有极限,而且 
  4.  是一个常数,那么函数  附近有极限,而且 
  5.   附近有定义,并且 ,那么  的商函数在 附近有极限,而且 

以上是当极限存在并且有限时的极限运算法则。当自变量不是趋向某一点,而是趋向正无穷大(负无穷大),又或者是只是从单侧趋向一点时,极限的运算法则一样成立。如果  中有一个或两个是无穷大,那么我们有以下的运算法则:

性质 4(极限的运算法则 续):

假设函数   趋于某一点 时有极限:

 
  1. 若其中的  都不是0,那么即使其中恰有一个是正无穷(负无穷),性质 4中极限的运算法则一样成立。
  2. 如果两个极限  都是无穷,性质 4中乘积函数和一个常数乘以函数的极限的运算法则一样成立。
  3. 如果  都是正无穷(负无穷),那么和函数与差函数极限的运算法则不变。

对于其它的情况,极限的运算法则不再成立。例如  的时候 不一定存在,即使存在,也可能是任何数。这些情况被称为极限的未定式。

极限的运算法则对具体计算函数的极限值十分有用。求复杂函数的极限时,可以将其拆分为较为简单的函数经过四则运算后的结果,分别对其中的每部分求极限,然后按照极限的运算法则求出原来复杂函数的极限。以下是一个例子:

例五

求分式多项式函数  趋于正无穷大时的极限。

 趋于正无穷大时,分式的分子和分母都趋于正无穷大,所以商函数极限的运算法则并不适用,但我们可以将这个分式稍作变形:   这时分子分母都有有限的极限,所以可以应用商函数极限的运算法则:

 
性质 5(复合函数极限法则):
设函数  。函数  趋于某一点 时有极限: ,函数  趋于点 时有极限: 。那么:复合函数  趋于点 时有极限 

有了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则,我们就可以计算大部分初等函数的极限。

例六

求函数  趋于 时的极限。

这里的函数 是一个复合函数: ,其中的两个函数是  。利用性质 5中的法则,我们可以将复和函数的极限拆分:

 

无穷小和无穷大编辑

无穷小是早期微积分中难以处理的一个概念。对无穷小的批判引发了第二次数学危机。随着柯西等人的努力,我们对极限和无穷小的认识逐渐加深。在现今的标准分析中,无穷小被定义为一类函数和数列。如果某个数列的极限是 ,那么称其为无穷小。如果某个函数在趋于某点(或无穷大)时极限为 ,那么就称这个函数是在这一点(无穷大)附近的无穷小。也就是说,无穷小并不是一个数值,也不是一个过程,而是一种函数或数列。某个函数在某一点是无穷小,但在另一点不一定是无穷小。比如函数 ,函数  趋于 时的极限是 ,所以  附近的无穷小。但  趋于 时的极限是 ,所以 不是 附近的无穷小。

无穷大的概念建立在无穷小的概念上。如果一个函数的倒数是(某点附近)的无穷小,那么它就是(某点附近)的无穷大。同样地,如果某个数列 是无穷小,那么数列 就是无穷大。

经过极限的四则运算法则,可以知道:若干个无穷小的和与差仍然是无穷小,常数乘以无穷小仍然是无穷小,若干个无穷小的乘积仍然是无穷小,有界函数或数列和无穷小的乘积是无穷小。

无穷小是函数或数列的一种,但无穷小也有不同的种类。根据无穷小趋向 的速度(收敛速度),可以将无穷小分成不同的“阶”。如果一个无穷小趋向 的速度比另一个快,就说它是后者的高阶无穷小,反之则称其为后者的低阶无穷小。用数学形式表达,就是:设函数  是某一点附近的(非零)无穷小,

如果 ,那么称  的高阶无穷小,  的低阶无穷小,记为 
如果 ,那么称  的同阶无穷小,记为 
如果 ,那么称  的等阶无穷小,记为 
如果 ,那么称  的等价无穷小,记为 

利用等价无穷小可以简化不少求极限的计算。以下是一些等价无穷小:

 

例七

求函数  趋于 时的极限。

 可以看做是两个无穷小的乘积除以一个无穷小的商。分别用相应的无穷小代替,就可以得到:

 

要注意的是,只有在乘除法时才适用等价无穷小来代换,将两个无穷小的和或差用等价无穷小来代替会产生错误的结果。比如求函数  趋于 时的极限,如果将  等都用它们的等价无穷小代替,就会变成

 

但实际上结果不是 。关于无穷小和函数(或数列)的极限有如下关系:

性质 6(极限与无穷小的关系):
如果函数在某点或无穷远处的极限(数列的极限)存在(无论是一个确定的数值还是无穷大),那么它可以表示成一个常数与一个无穷小的和。


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