微積分學/極限/極限的性質

上一節中我們給出了數列和函數的極限的定義。以下我們將研究與極限相關的一些性質。如上一節的評論中最後一條指出的，數列的極限可以看成是函數極限的特列，所以我們將主要討論函數極限的性質，間或給出數列極限的情況。

極限的性質

性質 1（極限的唯一性）：
函數在某點或無窮遠處的極限（數列的極限）如果存在（無論是一個確定的數值還是無窮大），那麼只有一個。

這個性質告訴我們，求某個函數或數列的極限時，只需要找到一個極限值就可以了。這個性質也可以用於證明極限不存在。

例一

證明函數$f(x)=\sin(x)$在$x$趨於正無窮大時沒有極限。這裡的證明會運用反證法。

假設函數$f(x)=\sin(x)$在$x$趨於正無窮大時有極限，那麼由性質 1可知，極限只有一個。設這個極限為$L$。根據極限的定義，對任意的正實數$\epsilon$，都存在正實數$M$，使得對任意$x>M$，都有$\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。現選取$\epsilon ={\frac {1}{3}}$，則存在對應的$M$。選擇一個$k\in \mathbb {N}$，使得$2k\pi >M$，那麼$(2k+1)\pi >M$。這時候$f$的值是：$f(2k\pi )=\sin(2k\pi )=1$和$f((2k+1)\pi )=\sin((2k+1)\pi )=-1$，所以有

$\vert 1-L\vert <{\frac {1}{3}}\,,\qquad \vert -1-L\vert <{\frac {1}{3}}$

也就是說，極限$L$同時滿足$L\in ({\frac {2}{3}},{\frac {4}{3}})$和$L\in (-{\frac {2}{3}},-{\frac {4}{3}})$，但這不可能，因為這兩個區間交集是空集（沒有共同元素）。綜上所述，初始的假設不成立，函數$f$在$x$趨於正無窮大時沒有極限。

性質 2（極限的局部有界性）：
如果函數$f(x)$在某點$c$有（有限的）極限$L$，那麼函數$f(x)$點$c$附近有界。

這個性質可以從極限的定義導出。由於$x$離點$c$足夠近的時候，$f(x)$和$L$的差別就會足夠小，所以不可能趨於無窮大。這個性質還有若干個不同的版本，比如，如果函數$f(x)$在某點$c$有（有限的）極限$L$，那麼對一個大於$L$的常數$M$，函數$f(x)$點$c$附近必然小於常數$M$。

性質 3（極限的保號性）：

如果一個函數在某一點附近大於等於0，並且在趨於這一點時有極限，那麼極限也大於等於0。

如果一個函數在自變量充分大（充分小）的時候恆大於等於0，並且在正無窮（負無窮）處有極限，那麼極限也大於等於0.

如果一個數列的每一項都大於等於0，並且有極限，那麼它的極限大於等於0.

極限的保號性在證明不等式或求極限的時候都有用處。需要注意的是，即使函數在一點附近嚴格大於0，極限也可能等於0，所以保號性只限於寬鬆的不等號，而不能應用於嚴格的不等號：一個函數在某一點附近嚴格大於0，並且在趨於這一點時有極限，並不能推出極限也大於0。

從極限的保號性可以推出極限的另一個性質：

推論 1：

如果兩個函數$f(x)$和$g(x)$在某一點$c$附近有極限：$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$

並且$f(x)$總是大於等於$g(x)$，那麼極限$L_{1}\geqslant L_{2}$。

如果兩個函數$f(x)$和$g(x)$在自變量充分大（充分小）的時候有極限，比如：$\lim _{x\to +\infty }f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to +\infty }g(x)=L_{2}$

並且$f(x)$恆大於等於$g(x)$，那麼極限$L_{1}\geqslant L_{2}$。

如果兩個數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$和$\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$都有極限：$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L_{1},\qquad \lim _{n\to \infty }b_{n}=L_{2}$

並且$\forall n,\,a_{n}\geqslant b_{n}$，那麼極限$L_{1}\geqslant L_{2}$。

例二

證明$\pi >3$。

讓我們計算單位圓內接正多邊形的面積$P(n)$：$P(n)={\frac {n}{2}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).$當$n=12$的時候，面積$P(n)=3$。使用平面幾何可以證明$P(2n)>P(n)$，並且由於正多邊形隨着邊數的增加越來越近似圓形，我們有$\lim _{n\to \infty }P(n)=\pi$考慮數列：

$a_{n}=P(12\cdot 2^{n})\,,\qquad b_{n}=P(24).$

數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的每一項都比前一項大，所以$\forall n,\,a_{n}>a_{1}=P(24)=b_{n}$，所以根據性質 3，

$\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}\geqslant \lim _{n\to \infty }b_{n}=P(24)>P(12)=3.$

從性質 3還可以推出一個在實際中十分有用的結果：

推論 2（夾逼定理）：

如果兩個函數$f(x)$和$g(x)$在某一點$c$附近有同一個極限：$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=L$

並且另一個函數$h(x)$總是介於$f(x)$和$g(x)$之間：$f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x).$

那麼$h(x)$在點$c$附近也有極限，並且極限是$L$。

如果兩個函數$f(x)$和$g(x)$在自變量充分大（充分小）的時候有同一個極限，比如：$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }g(x)=L$

並且另一個函數$h(x)$總是介於$f(x)$和$g(x)$之間：$f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x).$

那麼$h(x)$在趨向正無窮大時也有極限，並且極限是$L$。

如果兩個數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$和$\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$都有同一個極限：$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L.$

並且另一個數列$\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }$總是介於$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$和$\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$之間：$a_{n}\leqslant c_{n}\leqslant b_{n}.$

那麼數列$\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限也存在，並且極限是$L$。

夾逼定理有助於解決許多求極限的問題。當一個函數（或數列）的極限比較難求的時候，可以用兩個函數「夾迫」它，然後證明這兩個函數有相同的極限，然後運用夾逼定理就可以得到原來的函數也有相同的極限。

例三

求函數$f\,:\,x\mapsto {\frac {\sin(x)}{x}}$當$x$趨於$0$時的極限。

這是一個很重要的基本極限。首先從幾何上可以證明如下的不等關係：

$\cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1$

然而兩邊的函數$g\,:\,x\mapsto \cos(x)$和$h\,:\,x\mapsto 1$在$x$趨於$0$時的極限都是1，所以根據夾逼定理，$f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$當$x$趨於$0$時的極限也是1。

例四

求數列$a_{n}=(2^{n}+3^{n}+4^{n})^{1/n}$的極限。

欲運用夾逼定理求數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限，則需要對每一項$a_{n}$進行上限和下限的估計。首先顯然有：$a_{n}=(2^{n}+3^{n}+4^{n})^{1/n}>(4^{n})^{1/n}=4$，另一方面，$a_{n}<(4^{n}+4^{n}+4^{n})^{1/n}=(3\cdot 4^{n})^{1/n}=4\cdot {\sqrt[{n}]{3}}$。而我們知道：$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{3}}=1$，所以$\lim _{n\to \infty }4\cdot {\sqrt[{n}]{3}}=4$。所以根據夾逼定理，數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的極限是$4$。

性質 4（極限的運算法則）：

假設函數$f(x)$和$g(x)$在$x$趨於某一點$c$時有（有限的）極限：

$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$

那麼：

1. $f(x)$和$g(x)$的和函數在$c$附近有極限，而且$\lim _{x\to c}f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}.$
2. $f(x)$和$g(x)$的差函數在$c$附近有極限，而且$\lim _{x\to c}f(x)-g(x)=L_{1}-L_{2}.$
3. $f(x)$和$g(x)$的乘積函數在$c$附近有極限，而且$\lim _{x\to c}f(x)\cdot g(x)=L_{1}\cdot L_{2}.$
4. 若$k$是一個常數，那麼函數$k\cdot f(x)$在$c$附近有極限，而且$\lim _{x\to c}k\cdot f(x)=k\cdot L_{1}.$
5. 若${\frac {1}{g(x)}}$在$c$附近有定義，並且$L_{2}\neq 0$，那麼$f(x)$和$g(x)$的商函數在$c$附近有極限，而且$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.$

以上是當極限存在並且有限時的極限運算法則。當自變量不是趨向某一點，而是趨向正無窮大（負無窮大），又或者是只是從單側趨向一點時，極限的運算法則一樣成立。如果$L_{1}$和$L_{2}$中有一個或兩個是無窮大，那麼我們有以下的運算法則：

性質 4（極限的運算法則 續）：

假設函數$f(x)$和$g(x)$在$x$趨於某一點$c$時有極限：

$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$

1. 若其中的$L_{1}$和$L_{2}$都不是0，那麼即使其中恰有一個是正無窮（負無窮），性質 4中極限的運算法則一樣成立。
2. 如果兩個極限$L_{1}$和$L_{2}$都是無窮，性質 4中乘積函數和一個常數乘以函數的極限的運算法則一樣成立。
3. 如果$L_{1}$和$L_{2}$都是正無窮（負無窮），那麼和函數與差函數極限的運算法則不變。

對於其它的情況，極限的運算法則不再成立。例如$L_{1}=-\infty$，$L_{2}=+\infty$的時候$\lim _{x\to c}f(x)+g(x)$不一定存在，即使存在，也可能是任何數。這些情況被稱為極限的未定式。

極限的運算法則對具體計算函數的極限值十分有用。求複雜函數的極限時，可以將其拆分為較為簡單的函數經過四則運算後的結果，分別對其中的每部分求極限，然後按照極限的運算法則求出原來複雜函數的極限。以下是一個例子：

例五

求分式多項式函數$f\,:\,x\mapsto {\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}$當$x$趨於正無窮大時的極限。

當$x$趨於正無窮大時，分式的分子和分母都趨於正無窮大，所以商函數極限的運算法則並不適用，但我們可以將這個分式稍作變形： ${\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}={\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}$ 這時分子分母都有有限的極限，所以可以應用商函數極限的運算法則：

$\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {\lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}\right)}{\lim _{x\to +\infty }\left(4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}\right)}}\\&={\frac {1-3\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}-19\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}{4+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}-7\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}+2\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}$

性質 5（複合函數極限法則）：
設函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$和$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$。函數$f$在$x$趨於某一點$c$時有極限：$\lim _{x\to c}f(x)=l\in \mathbb {R}$，函數$g$在$x$趨於點$l$時有極限：$\lim _{x\to l}g(x)=L$。那麼：複合函數$g\circ f:\,x\mapsto g(f(x))$當$x$趨於點$c$時有極限$\lim _{x\to c}g\circ f(x)=L$。

有了極限的四則運算法則和複合函數的極限法則，我們就可以計算大部分初等函數的極限。

例六

求函數$f\,:\,x\mapsto e^{-(3-2x)^{3}}$當$x$趨於$2$時的極限。

這裡的函數$f$是一個複合函數：$f=g\circ h$，其中的兩個函數是$g:x\mapsto e^{x}$和$h:x\mapsto -(3-2x)^{3}$。利用性質 5中的法則，我們可以將復和函數的極限拆分：

$\lim _{x\to 2}e^{-(3-2x)^{3}}=e^{\lim _{x\to 2}-(3-2x)^{3}}=e^{-(3-\lim _{x\to 2}2x)^{3}}=e^{-(3-4)^{3}}=e^{1}=e.$

無窮小和無窮大

無窮小是早期微積分中難以處理的一個概念。對無窮小的批判引發了第二次數學危機。隨着柯西等人的努力，我們對極限和無窮小的認識逐漸加深。在現今的標準分析中，無窮小被定義為一類函數和數列。如果某個數列的極限是$0$，那麼稱其為無窮小。如果某個函數在趨於某點（或無窮大）時極限為$0$，那麼就稱這個函數是在這一點（無窮大）附近的無窮小。也就是說，無窮小並不是一個數值，也不是一個過程，而是一種函數或數列。某個函數在某一點是無窮小，但在另一點不一定是無窮小。比如函數$f\,:\,x\mapsto \sin(x^{2}+x)$，函數$f$在$x$趨於$0$時的極限是$0$，所以$f$是$0$附近的無窮小。但$f$在$x$趨於$1$時的極限是$\sin(2)$，所以$f$不是$1$附近的無窮小。

無窮大的概念建立在無窮小的概念上。如果一個函數的倒數是（某點附近）的無窮小，那麼它就是（某點附近）的無窮大。同樣地，如果某個數列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$是無窮小，那麼數列$\{a_{n}^{-1}\}_{n=1}^{\infty }$就是無窮大。

經過極限的四則運算法則，可以知道：若干個無窮小的和與差仍然是無窮小，常數乘以無窮小仍然是無窮小，若干個無窮小的乘積仍然是無窮小，有界函數或數列和無窮小的乘積是無窮小。

無窮小是函數或數列的一種，但無窮小也有不同的種類。根據無窮小趨向$0$的速度（收斂速度），可以將無窮小分成不同的「階」。如果一個無窮小趨向$0$的速度比另一個快，就說它是後者的高階無窮小，反之則稱其為後者的低階無窮小。用數學形式表達，就是：設函數$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$和$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是某一點附近的（非零）無窮小，

如果$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$，那麼稱$f$是$g$的高階無窮小，$g$是$f$的低階無窮小，記為$f(x)={\mathit {o}}_{c}\left(g(x)\right)$

如果$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leqslant M$，那麼稱$f$是$g$的同階無窮小，記為$f(x)={\mathcal {O}}_{c}\left(g(x)\right)$。

如果$0<m\leqslant \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leqslant M$，那麼稱$f$是$g$的等階無窮小，記為$f(x)=\Theta _{c}\left(g(x)\right)$。

如果$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$，那麼稱$f$是$g$的等價無窮小，記為$f(x)\sim _{c}g(x)$。

利用等價無窮小可以簡化不少求極限的計算。以下是一些等價無窮小：

$\sin(x)\sim _{0}x\;,\quad \tan(x)\sim _{0}x\;,\quad 1-\cos(x)\sim _{0}{\frac {1}{2}}x^{2}\;,\quad e^{x}-1\sim _{0}x\;,\quad \ln(1+x)\sim _{0}x$

例七

求函數$f(x)={\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}$在$x$趨於$0$時的極限。

$f(x)$可以看做是兩個無窮小的乘積除以一個無窮小的商。分別用相應的無窮小代替，就可以得到：

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=2$

要注意的是，只有在乘除法時才適用等價無窮小來代換，將兩個無窮小的和或差用等價無窮小來代替會產生錯誤的結果。比如求函數$f(x)={\frac {e^{x}-1-\tan(x)}{1-\cos(x)}}$在$x$趨於$0$時的極限，如果將$e^{x}-1$和$\tan(x)$等都用它們的等價無窮小代替，就會變成

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=0.$

但實際上結果不是$0$。關於無窮小和函數（或數列）的極限有如下關係：

性質 6（極限與無窮小的關係）：
如果函數在某點或無窮遠處的極限（數列的極限）存在（無論是一個確定的數值還是無窮大），那麼它可以表示成一個常數與一個無窮小的和。