微积分学/极限/极限的性质

上一节中我们给出了数列和函数的极限的定义。以下我们将研究与极限相关的一些性质。如上一节的评论中最后一条指出的，数列的极限可以看成是函数极限的特列，所以我们将主要讨论函数极限的性质，间或给出数列极限的情况。

极限的性质

性质 1（极限的唯一性）：
函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）如果存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么只有一个。

这个性质告诉我们，求某个函数或数列的极限时，只需要找到一个极限值就可以了。这个性质也可以用于证明极限不存在。

例一

证明函数$f(x)=\sin(x)$在$x$趋于正无穷大时没有极限。这里的证明会运用反证法。

假设函数$f(x)=\sin(x)$在$x$趋于正无穷大时有极限，那么由性质 1可知，极限只有一个。设这个极限为$L$。根据极限的定义，对任意的正实数$\epsilon$，都存在正实数$M$，使得对任意$x>M$，都有$\vert f(x)-L\vert <\epsilon$。现选取$\epsilon ={\frac {1}{3}}$，则存在对应的$M$。选择一个$k\in \mathbb {N}$，使得$2k\pi >M$，那么$(2k+1)\pi >M$。这时候$f$的值是：$f(2k\pi )=\sin(2k\pi )=1$和$f((2k+1)\pi )=\sin((2k+1)\pi )=-1$，所以有

$\vert 1-L\vert <{\frac {1}{3}}\,,\qquad \vert -1-L\vert <{\frac {1}{3}}$

也就是说，极限$L$同时满足$L\in ({\frac {2}{3}},{\frac {4}{3}})$和$L\in (-{\frac {2}{3}},-{\frac {4}{3}})$，但这不可能，因为这两个区间交集是空集（没有共同元素）。综上所述，初始的假设不成立，函数$f$在$x$趋于正无穷大时没有极限。

性质 2（极限的局部有界性）：
如果函数$f(x)$在某点$c$有（有限的）极限$L$，那么函数$f(x)$点$c$附近有界。

这个性质可以从极限的定义导出。由于$x$离点$c$足够近的时候，$f(x)$和$L$的差别就会足够小，所以不可能趋于无穷大。这个性质还有若干个不同的版本，比如，如果函数$f(x)$在某点$c$有（有限的）极限$L$，那么对一个大于$L$的常数$M$，函数$f(x)$点$c$附近必然小于常数$M$。

性质 3（极限的保号性）：

如果一个函数在某一点附近大于等于0，并且在趋于这一点时有极限，那么极限也大于等于0。

如果一个函数在自变量充分大（充分小）的时候恒大于等于0，并且在正无穷（负无穷）处有极限，那么极限也大于等于0.

如果一个数列的每一项都大于等于0，并且有极限，那么它的极限大于等于0.

极限的保号性在证明不等式或求极限的时候都有用处。需要注意的是，即使函数在一点附近严格大于0，极限也可能等于0，所以保号性只限于宽松的不等号，而不能应用于严格的不等号：一个函数在某一点附近严格大于0，并且在趋于这一点时有极限，并不能推出极限也大于0。

从极限的保号性可以推出极限的另一个性质：

推论 1：

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$c$附近有极限：$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$

并且$f(x)$总是大于等于$g(x)$，那么极限$L_{1}\geqslant L_{2}$。

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在自变量充分大（充分小）的时候有极限，比如：$\lim _{x\to +\infty }f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to +\infty }g(x)=L_{2}$

并且$f(x)$恒大于等于$g(x)$，那么极限$L_{1}\geqslant L_{2}$。

如果两个数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$和$\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$都有极限：$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L_{1},\qquad \lim _{n\to \infty }b_{n}=L_{2}$

并且$\forall n,\,a_{n}\geqslant b_{n}$，那么极限$L_{1}\geqslant L_{2}$。

例二

证明$\pi >3$。

让我们计算单位圆内接正多边形的面积$P(n)$：$P(n)={\frac {n}{2}}\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right).$当$n=12$的时候，面积$P(n)=3$。使用平面几何可以证明$P(2n)>P(n)$，并且由于正多边形随着边数的增加越来越近似圆形，我们有$\lim _{n\to \infty }P(n)=\pi$考虑数列：

$a_{n}=P(12\cdot 2^{n})\,,\qquad b_{n}=P(24).$

数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的每一项都比前一项大，所以$\forall n,\,a_{n}>a_{1}=P(24)=b_{n}$，所以根据性质 3，

$\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}\geqslant \lim _{n\to \infty }b_{n}=P(24)>P(12)=3.$

从性质 3还可以推出一个在实际中十分有用的结果：

推论 2（夹逼定理）：

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在某一点$c$附近有同一个极限：$\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=L$

并且另一个函数$h(x)$总是介于$f(x)$和$g(x)$之间：$f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x).$

那么$h(x)$在点$c$附近也有极限，并且极限是$L$。

如果两个函数$f(x)$和$g(x)$在自变量充分大（充分小）的时候有同一个极限，比如：$\lim _{x\to +\infty }f(x)=\lim _{x\to +\infty }g(x)=L$

并且另一个函数$h(x)$总是介于$f(x)$和$g(x)$之间：$f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x).$

那么$h(x)$在趋向正无穷大时也有极限，并且极限是$L$。

如果两个数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$和$\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$都有同一个极限：$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L.$

并且另一个数列$\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }$总是介于$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$和$\{b_{n}\}_{n=1}^{\infty }$之间：$a_{n}\leqslant c_{n}\leqslant b_{n}.$

那么数列$\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的极限也存在，并且极限是$L$。

夹逼定理有助于解决许多求极限的问题。当一个函数（或数列）的极限比较难求的时候，可以用两个函数“夹迫”它，然后证明这两个函数有相同的极限，然后运用夹逼定理就可以得到原来的函数也有相同的极限。

例三

求函数$f\,:\,x\mapsto {\frac {\sin(x)}{x}}$当$x$趋于$0$时的极限。

这是一个很重要的基本极限。首先从几何上可以证明如下的不等关系：

$\cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1$

然而两边的函数$g\,:\,x\mapsto \cos(x)$和$h\,:\,x\mapsto 1$在$x$趋于$0$时的极限都是1，所以根据夹逼定理，$f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}$当$x$趋于$0$时的极限也是1。

例四

求数列$a_{n}=(2^{n}+3^{n}+4^{n})^{1/n}$的极限。

欲运用夹逼定理求数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的极限，则需要对每一项$a_{n}$进行上限和下限的估计。首先显然有：$a_{n}=(2^{n}+3^{n}+4^{n})^{1/n}>(4^{n})^{1/n}=4$，另一方面，$a_{n}<(4^{n}+4^{n}+4^{n})^{1/n}=(3\cdot 4^{n})^{1/n}=4\cdot {\sqrt[{n}]{3}}$。而我们知道：$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{3}}=1$，所以$\lim _{n\to \infty }4\cdot {\sqrt[{n}]{3}}=4$。所以根据夹逼定理，数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$的极限是$4$。

性质 4（极限的运算法则）：

假设函数$f(x)$和$g(x)$在$x$趋于某一点$c$时有（有限的）极限：

$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$

那么：

1. $f(x)$和$g(x)$的和函数在$c$附近有极限，而且$\lim _{x\to c}f(x)+g(x)=L_{1}+L_{2}.$
2. $f(x)$和$g(x)$的差函数在$c$附近有极限，而且$\lim _{x\to c}f(x)-g(x)=L_{1}-L_{2}.$
3. $f(x)$和$g(x)$的乘积函数在$c$附近有极限，而且$\lim _{x\to c}f(x)\cdot g(x)=L_{1}\cdot L_{2}.$
4. 若$k$是一个常数，那么函数$k\cdot f(x)$在$c$附近有极限，而且$\lim _{x\to c}k\cdot f(x)=k\cdot L_{1}.$
5. 若${\frac {1}{g(x)}}$在$c$附近有定义，并且$L_{2}\neq 0$，那么$f(x)$和$g(x)$的商函数在$c$附近有极限，而且$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}.$

以上是当极限存在并且有限时的极限运算法则。当自变量不是趋向某一点，而是趋向正无穷大（负无穷大），又或者是只是从单侧趋向一点时，极限的运算法则一样成立。如果$L_{1}$和$L_{2}$中有一个或两个是无穷大，那么我们有以下的运算法则：

性质 4（极限的运算法则 续）：

假设函数$f(x)$和$g(x)$在$x$趋于某一点$c$时有极限：

$\lim _{x\to c}f(x)=L_{1},\qquad \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}$

1. 若其中的$L_{1}$和$L_{2}$都不是0，那么即使其中恰有一个是正无穷（负无穷），性质 4中极限的运算法则一样成立。
2. 如果两个极限$L_{1}$和$L_{2}$都是无穷，性质 4中乘积函数和一个常数乘以函数的极限的运算法则一样成立。
3. 如果$L_{1}$和$L_{2}$都是正无穷（负无穷），那么和函数与差函数极限的运算法则不变。

对于其它的情况，极限的运算法则不再成立。例如$L_{1}=-\infty$，$L_{2}=+\infty$的时候$\lim _{x\to c}f(x)+g(x)$不一定存在，即使存在，也可能是任何数。这些情况被称为极限的未定式。

极限的运算法则对具体计算函数的极限值十分有用。求复杂函数的极限时，可以将其拆分为较为简单的函数经过四则运算后的结果，分别对其中的每部分求极限，然后按照极限的运算法则求出原来复杂函数的极限。以下是一个例子：

例五

求分式多项式函数$f\,:\,x\mapsto {\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}$当$x$趋于正无穷大时的极限。

当$x$趋于正无穷大时，分式的分子和分母都趋于正无穷大，所以商函数极限的运算法则并不适用，但我们可以将这个分式稍作变形： ${\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}={\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}$ 这时分子分母都有有限的极限，所以可以应用商函数极限的运算法则：

$\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{4}-3x^{3}+x-19}{4x^{4}+x^{2}-7x+2}}&=\lim _{x\to +\infty }{\frac {1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}}{4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {\lim _{x\to +\infty }\left(1-3{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{x^{3}}}-19{\frac {1}{x^{4}}}\right)}{\lim _{x\to +\infty }\left(4+{\frac {1}{x^{2}}}-7{\frac {1}{x^{3}}}+2{\frac {1}{x^{4}}}\right)}}\\&={\frac {1-3\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x}}+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}-19\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}{4+\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{2}}}-7\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{3}}}+2\lim _{x\to +\infty }{\frac {1}{x^{4}}}}}\\&={\frac {1}{4}}\end{aligned}}$

性质 5（复合函数极限法则）：
设函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$和$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$。函数$f$在$x$趋于某一点$c$时有极限：$\lim _{x\to c}f(x)=l\in \mathbb {R}$，函数$g$在$x$趋于点$l$时有极限：$\lim _{x\to l}g(x)=L$。那么：复合函数$g\circ f:\,x\mapsto g(f(x))$当$x$趋于点$c$时有极限$\lim _{x\to c}g\circ f(x)=L$。

有了极限的四则运算法则和复合函数的极限法则，我们就可以计算大部分初等函数的极限。

例六

求函数$f\,:\,x\mapsto e^{-(3-2x)^{3}}$当$x$趋于$2$时的极限。

这里的函数$f$是一个复合函数：$f=g\circ h$，其中的两个函数是$g:x\mapsto e^{x}$和$h:x\mapsto -(3-2x)^{3}$。利用性质 5中的法则，我们可以将复和函数的极限拆分：

$\lim _{x\to 2}e^{-(3-2x)^{3}}=e^{\lim _{x\to 2}-(3-2x)^{3}}=e^{-(3-\lim _{x\to 2}2x)^{3}}=e^{-(3-4)^{3}}=e^{1}=e.$

无穷小和无穷大

无穷小是早期微积分中难以处理的一个概念。对无穷小的批判引发了第二次数学危机。随着柯西等人的努力，我们对极限和无穷小的认识逐渐加深。在现今的标准分析中，无穷小被定义为一类函数和数列。如果某个数列的极限是$0$，那么称其为无穷小。如果某个函数在趋于某点（或无穷大）时极限为$0$，那么就称这个函数是在这一点（无穷大）附近的无穷小。也就是说，无穷小并不是一个数值，也不是一个过程，而是一种函数或数列。某个函数在某一点是无穷小，但在另一点不一定是无穷小。比如函数$f\,:\,x\mapsto \sin(x^{2}+x)$，函数$f$在$x$趋于$0$时的极限是$0$，所以$f$是$0$附近的无穷小。但$f$在$x$趋于$1$时的极限是$\sin(2)$，所以$f$不是$1$附近的无穷小。

无穷大的概念建立在无穷小的概念上。如果一个函数的倒数是（某点附近）的无穷小，那么它就是（某点附近）的无穷大。同样地，如果某个数列$\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$是无穷小，那么数列$\{a_{n}^{-1}\}_{n=1}^{\infty }$就是无穷大。

经过极限的四则运算法则，可以知道：若干个无穷小的和与差仍然是无穷小，常数乘以无穷小仍然是无穷小，若干个无穷小的乘积仍然是无穷小，有界函数或数列和无穷小的乘积是无穷小。

无穷小是函数或数列的一种，但无穷小也有不同的种类。根据无穷小趋向$0$的速度（收敛速度），可以将无穷小分成不同的“阶”。如果一个无穷小趋向$0$的速度比另一个快，就说它是后者的高阶无穷小，反之则称其为后者的低阶无穷小。用数学形式表达，就是：设函数$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$和$g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是某一点附近的（非零）无穷小，

如果$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=0$，那么称$f$是$g$的高阶无穷小，$g$是$f$的低阶无穷小，记为$f(x)={\mathit {o}}_{c}\left(g(x)\right)$

如果$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leqslant M$，那么称$f$是$g$的同阶无穷小，记为$f(x)={\mathcal {O}}_{c}\left(g(x)\right)$。

如果$0<m\leqslant \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leqslant M$，那么称$f$是$g$的等阶无穷小，记为$f(x)=\Theta _{c}\left(g(x)\right)$。

如果$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1$，那么称$f$是$g$的等价无穷小，记为$f(x)\sim _{c}g(x)$。

利用等价无穷小可以简化不少求极限的计算。以下是一些等价无穷小：

$\sin(x)\sim _{0}x\;,\quad \tan(x)\sim _{0}x\;,\quad 1-\cos(x)\sim _{0}{\frac {1}{2}}x^{2}\;,\quad e^{x}-1\sim _{0}x\;,\quad \ln(1+x)\sim _{0}x$

例七

求函数$f(x)={\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}$在$x$趋于$0$时的极限。

$f(x)$可以看做是两个无穷小的乘积除以一个无穷小的商。分别用相应的无穷小代替，就可以得到：

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {\left(e^{x}-1\right)\tan(x)}{1-\cos(x)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x\cdot x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=2$

要注意的是，只有在乘除法时才适用等价无穷小来代换，将两个无穷小的和或差用等价无穷小来代替会产生错误的结果。比如求函数$f(x)={\frac {e^{x}-1-\tan(x)}{1-\cos(x)}}$在$x$趋于$0$时的极限，如果将$e^{x}-1$和$\tan(x)$等都用它们的等价无穷小代替，就会变成

$\lim _{x\to 0}f(x)=\lim _{x\to 0}{\frac {x-x}{{\frac {1}{2}}x^{2}}}=0.$

但实际上结果不是$0$。关于无穷小和函数（或数列）的极限有如下关系：

性质 6（极限与无穷小的关系）：
如果函数在某点或无穷远处的极限（数列的极限）存在（无论是一个确定的数值还是无穷大），那么它可以表示成一个常数与一个无穷小的和。