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微积分学/导数

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定义编辑

一般定义编辑

设函数 在点 的某个邻域内有定义,当自变量  处取得增量  (点  仍在该邻域内)时,相应地函数 取得增量  ;如果    之比当  时的极限存在,则称函数 在点 可导,并称这个极限为函数 在点 处的导数,记为 ,即

 

也可记作   

若将一点扩展成函数 在其定义域包含的某开区间 内每一个点,那么函数 开区间 内可导,这时对于 内每一个确定的 值,都对应着 的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数 的导函数,记作:  或者 

导函数的定义表达式为:

 

值得注意的是,导数是一个数,是指函数 在点 处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点。

几何意义编辑

如右图所示,设 为曲线上的一个定点, 为曲线上的一个动点。当 沿曲线逐渐趋向于点 时,并且割线 的极限位置 存在,则称 为曲线在 处的切线。

若曲线为一函数 的图像,那么割线 的斜率为:

 

 处的切线 ,即 的极限位置存在时,此时  ,则 的斜率 为:

 

上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则 ,故导数的几何意义即曲线 在点 处切线的斜率。

函数可导的条件编辑

如果一个函数定义域为全体实数,即函数在 上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢?答案是否定的。函数在定义域中一点可导需要一定的条件是:函数在该点的左右两侧导数都存在且相等。这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等)推导而来:

 

上式中,后两个式子可以定义为函数在 处的左右导数:

左导数: 
右导数: 

用两个函数的例子来说明函数可导的条件。

 
sgn函数,符号函数

1.上面这个符号函数在 处可导吗?

 
绝对值函数

2.上面这个绝对值函数在 处可导吗?

以上两个函数都是在定义域内连续的函数,由此就可以得出一个结论:连续的函数不一定处处可导。

处处可导的函数一定处处连续

导数的求导法则编辑

在解决函数的导数问题上,利用定义是在过于麻烦。故利用定义来引申出几个基本的求导法则,以利于更好地解决各类求导的问题。

四则运算的求导法则编辑

求导法则
1  
2  
3  

特别地,对于常数 

4  
5  

以上法则的证明中,对于1,可以利用极限的运算法则验证;对于2,可以直接使用导数定义证明,证明如下:

  • 证明 

复合函数求导编辑

求导法则
1  

反函数的求导编辑

设函数  的某个邻域内连续,严格单调,且在 可导而且 成立。则它的反函数  可导,且有:
 或者 

我们可以用一个例子来说明:试求函数 的导函数。

  的反函数,且  开区间上严格单调、可导,且 因此由反函数求导法则可得:在对应区间 内有:

 

参数方程和极坐标方程的求导编辑

对于参数方程  ,其中  可导,且 严格单调(?), ,根据复合函数求导法则和反函数求导法则可得参数方程的导数为:

 

对于极坐标方程 ,根据参数方程的求导法则可得极坐标方程的导数为:

 

隐函数的求导编辑

  • 有关隐函数的定义,参见隐函数

隐函数的求导方法的基本思想是要把方程 中的看作 的函数 ,方程两端对 求导,然后再解出隐函数的导数 

给出一个例子来进一步说明:
试求由方程 所确定的 关于 的隐函数的导数 ,其中 
解:
方程的两边同时对 求导得:

 

 

 

  • 通过例题,应当注意方程两边求导的对象是 ,而 是用 表示的,相当于一个 的复合函数,故根据复合函数的求导法则: 。本题中 

高阶导数编辑

参数方程的高阶求导

对于参数方程 ,其中  二阶可导,且 ,则由 ,有


   

 

 

 

基本函数的导数编辑

基本导数公式
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6  
7  
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12  其中 
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16  

导数的应用编辑

物理学几何学经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。例如,在物理学中,速度被定义为位置函数的导数,即: ;而加速度被定义为速度函数的导数,即: 。另外,导数还可以表示曲线在一点的斜率,以及经济学中的边际弹性

相关内容编辑

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