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微积分学/极限/一些极限性质的证明

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极限/一些极限性质的证明
均为常数,则
证明

欲证,只需找到一个,使得对任意,当时,都有。由于, 则对任意均成立,证毕。

为常数,则
证明

欲证,只需找到一个,使得对任意,当时,都有。取,满足条件,证毕。

线性规则
,则
证明

显然,必有函数,使得对任意,当时,;当时,。两式相加,得

三角不等式,得

因此,当时,

二者中较小者,则的定义中的即为,求出值为,证毕。

线性规则
,则
证明

,则,故,证毕。

积规则
,则
证明

为任意正数,则必有,使得

  1. 时,
  2. 时,
  3. 时,

由3得当时,,则当时,由1和2得,证毕。

商规则
,则
证明

,则可令,运用积规则可证商规则。下证

为任意正数,则必有,使得

  1. 时,
  2. 时,

由2得,则当时,

故当时,

时,有

,证毕。
夹挤原理
,且在的某个去心邻域内有,则
证明

显然,必有,使得当时,

不等式等价于:时,

因此当时,,或当时,

故当时,,证毕。

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