若

,

均为常数,则

。
- 证明
欲证
,只需找到一个
,使得对任意
,当
时,都有
。由于
且
, 则
对任意
均成立,证毕。
若

为常数,则

。
- 证明
欲证
,只需找到一个
,使得对任意
,当
时,都有
。取
,满足条件,证毕。
线性规则
设

,

,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63558973f7dd0b0f40d8b5ec75c0069be55cbfd5)
。
- 证明
显然,必有函数
和
,使得对任意
,当
时,
;当
时,
。两式相加,得
。
由三角不等式,得
。
因此,当
且
时,
。
设
为
和
二者中较小者,则
的定义中的
即为
,求出值为
,证毕。
线性规则
设

,

,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2245bcbbf23e62d18e911d97fb3374f21029d253)
。
- 证明
令
,则
,故
,证毕。
积规则
设

,

,则
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\lim _{x\to c}g(x)=LM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef1c05fdb2e393ebff68463af07e5ecdbb7f8d9)
。
- 证明
设
为任意正数,则必有
,使得
- 当
时,
;
- 当
时,
;
- 当
时,
。
由3得当
时,
,则当
时,由1和2得
,证毕。
商规则
设

,

,则

。
- 证明
若
,则可令
,运用积规则可证商规则。下证
:
设
为任意正数,则必有
,使得
- 当
时,
;
- 当
时,
。
由2得
,则当
时,
。
故当
时,
。
当
时,有
,证毕。
夹挤原理
设

,且在

的某个去心邻域内有

,则

。
- 证明
显然,必有
,使得当
时,
,
。
不等式等价于:
时,
,
。
因此当
时,
,或当
时,
。
故当
时,
,证毕。