微積分學/極限/一些極限性質的證明

若$a$，$b$均為常數，則$\lim _{x\to a}b=b$。

證明

欲證$\lim _{x\to a}b=b$，只需找到一個$\delta >0$，使得對任意$\varepsilon >0$，當$0<|x-a|<\delta$時，都有$|b-b|<\varepsilon$。由於$|b-b|=0$且$\varepsilon >0$, 則$|b-b|<\varepsilon$對任意$\delta$均成立，證畢。

若$a$為常數，則$\lim _{x\to a}x=a$。

證明

欲證$\lim _{x\to a}x=a$，只需找到一個$\delta >0$，使得對任意$\varepsilon >0$，當$0<|x-a|<\delta$時，都有$|x-a|<\varepsilon$。取$\delta =\varepsilon$，滿足條件，證畢。

線性規則
設$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M$，則$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M$。

證明

顯然，必有函數$\delta _{f}(\varepsilon )$和$\delta _{g}(\varepsilon )$，使得對任意$\varepsilon >0$，當$|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$時，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$；當$|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$時，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<\varepsilon$。兩式相加，得${\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\big |}g(x)-M{\big |}<2\varepsilon$。

由三角不等式，得${\bigg |}[f(x)-L]+[g(x)-M]{\bigg |}={\bigg |}[f(x)+g(x)]-(L+M){\bigg |}\leq {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}$。

因此，當$|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$且$|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$時，${\bigg |}[f(x)+g(x)]-(L+M){\bigg |}<2\varepsilon$。

設$\delta _{fg}(\varepsilon )$為$\delta _{f}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$和$\delta _{g}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$二者中較小者，則$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}$的定義中的$\delta$即為$\delta _{fg}(\varepsilon )$，求出值為$L+M$，證畢。

線性規則
設$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M$，則$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M$。

證明

令$h(x)=-g(x)$，則$\lim _{x\to c}h(x)=-M$，故$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+h(x){\Big ]}=L-M$，證畢。

積規則
設$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M$，則$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\lim _{x\to c}g(x)=LM$。

證明

設$\varepsilon$為任意正數，則必有$\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}$，使得

1. 當$0<|x-c|<\delta _{1}$時，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}$；
2. 當$0<|x-c|<\delta _{2}$時，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}$；
3. 當$0<|x-c|<\delta _{3}$時，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<1$。

由3得當$0<|x-c|<\delta _{3}$時，${\Big |}g(x){\Big |}={\bigg |}g(x)-M+M{\bigg |}\leq {\Big |}g(x)-M{\Big |}+|M|<1+|M|$，則當$0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$時，由1和2得${\begin{aligned}{\bigg |}f(x)g(x)-LM{\bigg |}&={\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM{\bigg |}\\&\leq {\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x){\bigg |}+{\bigg |}Lg(x)-LM{\bigg |}\\&={\Big |}g(x){\Big |}{\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|{\Big |}g(x)-M{\Big |}\\&<(1+|M|){\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}+(1+|L|){\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}\\&=\varepsilon \end{aligned}}$，證畢。

商規則
設$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M\neq 0$，則$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}$。

證明

若$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$，則可令$h(x)={\frac {1}{g(x)}}$，運用積規則可證商規則。下證$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$：

設$\varepsilon$為任意正數，則必有$\delta _{1},\delta _{2}$，使得

1. 當$0<|x-c|<\delta _{1}$時，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<\varepsilon |M|{\Big |}|M|-1{\Big |}$；
2. 當$0<|x-c|<\delta _{2}$時，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<1$。

由2得$|M|=|M-g(x)+g(x)|\leq |M-g(x)|+|g(x)|<1+|g(x)|$，則當$0<|x-c|<\delta _{2}$時，$|g(x)|>|M|-1$。

故當$0<|x-c|<\delta _{2}$時，$\left|{\frac {1}{g(x)}}\right|<{\frac {1}{|M|-1}}\leq {\Big |}{\frac {1}{|M|-1}}{\Big |}$。

當$0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$時，有

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{M}}\right|&=\left|{\frac {M-g(x)}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {g(x)-M}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{g(x)}}\right|\left|{\frac {g(x)-M}{M}}\right|\\&<\left|{\frac {1}{|M|-1}}\right|\left|{\frac {g(x)-M}{M}}\right|\\&<\left|{\frac {1}{|M|-1}}\right|\left|{\frac {\varepsilon |M|{\Big |}|M|-1{\Big |}}{M}}\right|\\&=\varepsilon \end{aligned}}$，證畢。

夾擠原理
設$\lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$，且在$c$的某個去心鄰域內有$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，則$\lim _{x\to c}f(x)=L$。

證明

顯然，必有$\delta$，使得當$0<|x-c|<\delta$時，${\Big |}g(x)-L{\Big |}<\varepsilon$，${\Big |}h(x)-L{\Big |}<\varepsilon$。

不等式等價於：$0<|x-c|<\delta$時，$L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon$，$L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon$。

因此當$0<|x-c|<\delta$時，$L-\varepsilon <g(x)<f(x)<h(x)<L+\varepsilon$，或當$0<|x-c|<\delta$時，$-\varepsilon <g(x)-L<f(x)-L<h(x)-L<\varepsilon$。

故當$0<|x-c|<\delta$時，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\max {\Big \{}{\Big |}g(x)-L{\Big |},{\Big |}h(x)-L{\Big |}{\Big \}}<\varepsilon$，證畢。