若

,

均為常數,則

。
- 證明
欲證
,只需找到一個
,使得對任意
,當
時,都有
。由於
且
, 則
對任意
均成立,證畢。
若

為常數,則

。
- 證明
欲證
,只需找到一個
,使得對任意
,當
時,都有
。取
,滿足條件,證畢。
線性規則
設

,

,則
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63558973f7dd0b0f40d8b5ec75c0069be55cbfd5)
。
- 證明
顯然,必有函數
和
,使得對任意
,當
時,
;當
時,
。兩式相加,得
。
由三角不等式,得
。
因此,當
且
時,
。
設
為
和
二者中較小者,則
的定義中的
即為
,求出值為
,證畢。
線性規則
設

,

,則
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2245bcbbf23e62d18e911d97fb3374f21029d253)
。
- 證明
令
,則
,故
,證畢。
積規則
設

,

,則
![{\displaystyle \lim _{x\to c}{\Big [}f(x)g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\lim _{x\to c}g(x)=LM}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ef1c05fdb2e393ebff68463af07e5ecdbb7f8d9)
。
- 證明
設
為任意正數,則必有
,使得
- 當
時,
;
- 當
時,
;
- 當
時,
。
由3得當
時,
,則當
時,由1和2得
,證畢。
商規則
設

,

,則

。
- 證明
若
,則可令
,運用積規則可證商規則。下證
:
設
為任意正數,則必有
,使得
- 當
時,
;
- 當
時,
。
由2得
,則當
時,
。
故當
時,
。
當
時,有
,證畢。
夾擠原理
設

,且在

的某個去心鄰域內有

,則

。
- 證明
顯然,必有
,使得當
時,
,
。
不等式等價於:
時,
,
。
因此當
時,
,或當
時,
。
故當
時,
,證畢。