微積分學/極限/一些極限性質的證明

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極限/一些極限性質的證明
均為常數,則
證明

欲證,只需找到一個,使得對任意,當時,都有。由於, 則對任意均成立,證畢。

為常數,則
證明

欲證,只需找到一個,使得對任意,當時,都有。取,滿足條件,證畢。

線性規則
,則
證明

顯然,必有函數,使得對任意,當時,;當時,。兩式相加,得

三角不等式,得

因此,當時,

二者中較小者,則的定義中的即為,求出值為,證畢。

線性規則
,則
證明

,則,故,證畢。

積規則
,則
證明

為任意正數,則必有,使得

  1. 時,
  2. 時,
  3. 時,

由3得當時,,則當時,由1和2得,證畢。

商規則
,則
證明

,則可令,運用積規則可證商規則。下證

為任意正數,則必有,使得

  1. 時,
  2. 時,

由2得,則當時,

故當時,

時,有

,證畢。
夾擠原理
,且在的某個去心鄰域內有,則
證明

顯然,必有,使得當時,

不等式等價於:時,

因此當時,,或當時,

故當時,,證畢。

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