微积分学/极限/一些极限性质的证明

若$a$，$b$均为常数，则$\lim _{x\to a}b=b$。

证明

欲证$\lim _{x\to a}b=b$，只需找到一个$\delta >0$，使得对任意$\varepsilon >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|b-b|<\varepsilon$。由于$|b-b|=0$且$\varepsilon >0$, 则$|b-b|<\varepsilon$对任意$\delta$均成立，证毕。

若$a$为常数，则$\lim _{x\to a}x=a$。

证明

欲证$\lim _{x\to a}x=a$，只需找到一个$\delta >0$，使得对任意$\varepsilon >0$，当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|x-a|<\varepsilon$。取$\delta =\varepsilon$，满足条件，证毕。

线性规则
设$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M$，则$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)+\lim _{x\to c}g(x)=L+M$。

证明

显然，必有函数$\delta _{f}(\varepsilon )$和$\delta _{g}(\varepsilon )$，使得对任意$\varepsilon >0$，当$|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$时，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\varepsilon$；当$|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$时，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<\varepsilon$。两式相加，得${\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\big |}g(x)-M{\big |}<2\varepsilon$。

由三角不等式，得${\bigg |}[f(x)-L]+[g(x)-M]{\bigg |}={\bigg |}[f(x)+g(x)]-(L+M){\bigg |}\leq {\Big |}f(x)-L{\Big |}+{\Big |}g(x)-M{\Big |}$。

因此，当$|x-c|<\delta _{f}(\varepsilon )$且$|x-c|<\delta _{g}(\varepsilon )$时，${\bigg |}[f(x)+g(x)]-(L+M){\bigg |}<2\varepsilon$。

设$\delta _{fg}(\varepsilon )$为$\delta _{f}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$和$\delta _{g}({\tfrac {\varepsilon }{2}})$二者中较小者，则$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}$的定义中的$\delta$即为$\delta _{fg}(\varepsilon )$，求出值为$L+M$，证毕。

线性规则
设$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M$，则$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)-\lim _{x\to c}g(x)=L-M$。

证明

令$h(x)=-g(x)$，则$\lim _{x\to c}h(x)=-M$，故$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)+h(x){\Big ]}=L-M$，证毕。

积规则
设$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M$，则$\lim _{x\to c}{\Big [}f(x)g(x){\Big ]}=\lim _{x\to c}f(x)\lim _{x\to c}g(x)=LM$。

证明

设$\varepsilon$为任意正数，则必有$\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}$，使得

1. 当$0<|x-c|<\delta _{1}$时，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}$；
2. 当$0<|x-c|<\delta _{2}$时，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}$；
3. 当$0<|x-c|<\delta _{3}$时，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<1$。

由3得当$0<|x-c|<\delta _{3}$时，${\Big |}g(x){\Big |}={\bigg |}g(x)-M+M{\bigg |}\leq {\Big |}g(x)-M{\Big |}+|M|<1+|M|$，则当$0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2},\delta _{3}\}$时，由1和2得${\begin{aligned}{\bigg |}f(x)g(x)-LM{\bigg |}&={\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM{\bigg |}\\&\leq {\bigg |}f(x)g(x)-Lg(x){\bigg |}+{\bigg |}Lg(x)-LM{\bigg |}\\&={\Big |}g(x){\Big |}{\Big |}f(x)-L{\Big |}+|L|{\Big |}g(x)-M{\Big |}\\&<(1+|M|){\frac {\varepsilon }{2(1+|M|)}}+(1+|L|){\frac {\varepsilon }{2(1+|L|)}}\\&=\varepsilon \end{aligned}}$，证毕。

商规则
设$\lim _{x\to c}f(x)=L$，$\lim _{x\to c}g(x)=M\neq 0$，则$\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}f(x)}{\lim \limits _{x\to c}g(x)}}={\frac {L}{M}}$。

证明

若$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$，则可令$h(x)={\frac {1}{g(x)}}$，运用积规则可证商规则。下证$\lim _{x\to c}{\frac {1}{g(x)}}={\frac {1}{M}}$：

设$\varepsilon$为任意正数，则必有$\delta _{1},\delta _{2}$，使得

1. 当$0<|x-c|<\delta _{1}$时，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<\varepsilon |M|{\Big |}|M|-1{\Big |}$；
2. 当$0<|x-c|<\delta _{2}$时，${\Big |}g(x)-M{\Big |}<1$。

由2得$|M|=|M-g(x)+g(x)|\leq |M-g(x)|+|g(x)|<1+|g(x)|$，则当$0<|x-c|<\delta _{2}$时，$|g(x)|>|M|-1$。

故当$0<|x-c|<\delta _{2}$时，$\left|{\frac {1}{g(x)}}\right|<{\frac {1}{|M|-1}}\leq {\Big |}{\frac {1}{|M|-1}}{\Big |}$。

当$0<|x-c|<\min\{\delta _{1},\delta _{2}\}$时，有

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{M}}\right|&=\left|{\frac {M-g(x)}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {g(x)-M}{Mg(x)}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{g(x)}}\right|\left|{\frac {g(x)-M}{M}}\right|\\&<\left|{\frac {1}{|M|-1}}\right|\left|{\frac {g(x)-M}{M}}\right|\\&<\left|{\frac {1}{|M|-1}}\right|\left|{\frac {\varepsilon |M|{\Big |}|M|-1{\Big |}}{M}}\right|\\&=\varepsilon \end{aligned}}$，证毕。

夹挤原理
设$\lim _{x\to c}g(x)=\lim _{x\to c}h(x)=L$，且在$c$的某个去心邻域内有$g(x)\leq f(x)\leq h(x)$，则$\lim _{x\to c}f(x)=L$。

证明

显然，必有$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，${\Big |}g(x)-L{\Big |}<\varepsilon$，${\Big |}h(x)-L{\Big |}<\varepsilon$。

不等式等价于：$0<|x-c|<\delta$时，$L-\varepsilon <g(x)<L+\varepsilon$，$L-\varepsilon <h(x)<L+\varepsilon$。

因此当$0<|x-c|<\delta$时，$L-\varepsilon <g(x)<f(x)<h(x)<L+\varepsilon$，或当$0<|x-c|<\delta$时，$-\varepsilon <g(x)-L<f(x)-L<h(x)-L<\varepsilon$。

故当$0<|x-c|<\delta$时，${\Big |}f(x)-L{\Big |}<\max {\Big \{}{\Big |}g(x)-L{\Big |},{\Big |}h(x)-L{\Big |}{\Big \}}<\varepsilon$，证毕。