微积分学/不定积分
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定义
编辑设 是区间 上的可导函数。若对任给 ,有 或 ,则称 为 在 上的一个原函数,或简单地说, 是 的原函数。
设 是 在区间 上的一个原函数,则称 ( 取任意常数)为 的不定积分(有时也简称为积分),记作 ,即 。
称 为积分号, 为被积函数, 为积分变量, 为被积表达式, 为积分常数。
例1
的导函数是 ,则 的原函数是 加上一个常数。有
例2
考察函数 。由求导法则
有
又由于
因此, 是 的一个原函数。
性质
编辑基本性质
编辑
若 为一常数,则 。
分项积分公式
幂函数的积分
编辑
,对任意 成立。
反比例函数的积分
编辑注意:当指数为 时,幂函数的积分规则不适用,必须使用反比例函数的积分规则。由于对数函数的真数必为正,因此须加上绝对值符号。
指数函数的积分
编辑三角函数的积分
编辑例
分部积分法
编辑分部积分法
设 和 連續可微,则
例1
求
令
- ,则
- ,则
所以
例2
求
令
- ,则
- ,则
所以
再令
- ,则
- ,则
所以
因此
例3
求
原式可写作
令
- ,则
- ,则
所以
例4
求
原式可写作
令
- ,则
- ,则
所以
例5
求
令
- ,则
- ,则
所以
再令
- ,则
- ,则
所以
故
解得