微積分學/不定積分

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定義

設$F(x)$是區間$I$上的可導函數。若對任給$x\in I$，有$F'(x)=f(x)$或$dF(x)=f(x)dx$，則稱$F(x)$為$f(x)$在$I$上的一個原函數，或簡單地說，$F(x)$是$f(x)$的原函數。

設$F(x)$是$f(x)$在區間$I$上的一個原函數，則稱$F(x)+C$（$C$取任意常數）為$f(x)$的不定積分（有時也簡稱為積分），記作$\int f(x)dx$，即$\int f(x)dx=F(x)+C$。

稱$\int$為積分號，$f(x)$為被積函數，$x$為積分變量，$f(x)dx$為被積表達式，$C$為積分常數。

例1

$x^{4}$的導函數是$4x^{3}$，則$4x^{3}$的原函數是$x^{4}$加上一個常數。有

$\int 4x^{3}dx=x^{4}+C$

例2

考察函數$6x^{2}$。由求導法則

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

有

${\frac {d}{dx}}x^{3}=3x^{2}$

又由於

$2{\frac {d}{dx}}x^{3}=2\times 3x^{2}=6x^{2}$

因此，$2x^{3}$是$6x^{2}$的一個原函數。

性質

基本性質

若$c$為一常數，則$\int cf(x)dx=c\int f(x)dx$。

分項積分公式

$\int {\Big [}f(x)+g(x){\Big ]}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$

$\int {\Big [}f(x)-g(x){\Big ]}dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$

冪函數的積分

$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C$，對任意$n\neq -1$成立。

反比例函數的積分

$\int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C$

注意：當指數為$-1$時，冪函數的積分規則不適用，必須使用反比例函數的積分規則。由於對數函數的真數必為正，因此須加上絕對值符號。

指數函數的積分

$\int e^{x}dx=e^{x}+C$

三角函數的積分

$\int \cos(x)dx=\sin(x)+C$
$\int \sin(x)dx=-\cos(x)+C$

例

$\int {\Big [}x^{4}+1+2\sin x{\Big ]}dx$	$=\int x^{4}dx+\int 1\,dx+\int 2\sin xdx$
	$={\frac {x^{5}}{5}}+x-2\cos x+C$

分部積分法

分部積分法

設$f(x)$和$g(x)$連續可微，則

$\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx-\int \left[f'(x)\int g(x)dx\right]dx$

例1

求$\int x\cos xdx$

令

$u=x$，則$du=dx$

$dv=\cos xdx$，則$v=\sin x$

所以

$\int x\cos xdx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$
	$=x\sin x-\int \sin xdx$
	$=x\sin x+\cos x+C$

例2

求$\int x^{2}e^{x}dx$

令

$u=x^{2}$，則$du=2xdx$

$dv=e^{x}dx$，則$v=e^{x}$

所以

$\int x^{2}e^{x}dx$	$=\int u\,dv$
	$=uv-\int v\,du$
	$=x^{2}e^{x}-\int 2xe^{x}dx$
	$=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx$

再令

$u=x$，則$du=dx$

$dv=e^{x}dx$，則$v=e^{x}$

所以

$\int xe^{x}dx=xe^{x}-\int e^{x}dx=e^{x}(x-1)$

因此

$\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2e^{x}(x-1)+C=e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$

例3

求$\int \ln xdx$

原式可寫作

$\int \ln x\cdot 1\,dx$

令

$u=\ln x$，則$du={\frac {dx}{x}}$

$v=x$，則$dv=1\,dx$

所以

$\int \ln xdx$	$=x\ln x-\int {\frac {x}{x}}dx$
	$=x\ln x-\int 1\,dx$
	$=x\ln x-x+C$
	$=x{\bigl (}\ln x-1{\bigr )}+C$

例4

求$\int \arctan xdx$

原式可寫作$\arctan x=\arctan x\cdot 1$

令

$u=\arctan x$，則$du={\frac {dx}{1+x^{2}}}$

$v=x$，則$dv=1\,dx$

所以

$\int \arctan xdx$	$=x\arctan x-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}dx$
	$=x\arctan x-{\tfrac {1}{2}}\ln(1+x^{2})+C$

例5

求$\int e^{x}\cos xdx$

令

$u=e^{x}$，則$du=e^{x}dx$

$dv=\cos xdx$，則$v=\sin x$

所以

$\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\sin x-\int e^{x}\sin xdx$

再令

$u=e^{x}$，則$du=e^{x}dx$

$v=-\cos x$，則$dv=\sin xdx$

所以

$\int e^{x}\sin xdx$	$=-e^{x}\cos x-\int -e^{x}\cos xdx$
	$=-e^{x}\cos x+\int e^{x}\cos xdx$

故

$\int e^{x}\cos xdx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x-\int e^{x}\cos xdx$

解得

$\int e^{x}\cos xdx={\frac {e^{x}{\bigl (}\sin x+\cos x{\bigr )}}{2}}$