微積分學/不定積分
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定義
編輯設 是區間 上的可導函數。若對任給 ,有 或 ,則稱 為 在 上的一個原函數,或簡單地說, 是 的原函數。
設 是 在區間 上的一個原函數,則稱 ( 取任意常數)為 的不定積分(有時也簡稱為積分),記作 ,即 。
稱 為積分號, 為被積函數, 為積分變量, 為被積表達式, 為積分常數。
例1
的導函數是 ,則 的原函數是 加上一個常數。有
例2
考察函數 。由求導法則
有
又由於
因此, 是 的一個原函數。
性質
編輯基本性質
編輯
若 為一常數,則 。
分項積分公式
冪函數的積分
編輯
,對任意 成立。
反比例函數的積分
編輯注意:當指數為 時,冪函數的積分規則不適用,必須使用反比例函數的積分規則。由於對數函數的真數必為正,因此須加上絕對值符號。
指數函數的積分
編輯三角函數的積分
編輯例
分部積分法
編輯分部積分法
設 和 連續可微,則
例1
求
令
- ,則
- ,則
所以
例2
求
令
- ,則
- ,則
所以
再令
- ,則
- ,則
所以
因此
例3
求
原式可寫作
令
- ,則
- ,則
所以
例4
求
原式可寫作
令
- ,則
- ,則
所以
例5
求
令
- ,則
- ,則
所以
再令
- ,則
- ,則
所以
故
解得