( V , ⊕ , ⋅ ) {\displaystyle (V,\,\oplus ,\,\cdot )} 是定義在體 ( F , + , × ) {\displaystyle (F,\,+,\,\times )} 上的線性空間，若函數 f : V → V {\displaystyle f:V\to V} 滿足
有時會定義
並以
來表示 f {\displaystyle f} 是定義在 V {\displaystyle V} 的線性變換。
我們可以把上面的定義稍作推廣
( V , ⊕ , ⋅ ) {\displaystyle (V,\,\oplus ,\,\cdot )} 和 ( W , ⊙ , ∘ ) {\displaystyle (W,\,\odot ,\,\circ )} 是定義在體 ( F , + , × ) {\displaystyle (F,\,+,\,\times )} 上的線性空間，若函數 f : V → W {\displaystyle f:V\to W} 滿足
是定義在體 
上的線性空間，若函數 
滿足
![{\displaystyle (\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\cdot f(v)\oplus b\cdot f(w)\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a19d251d3e5a05150bcb8cf698bc4e3625edaef)
![{\displaystyle L(V):=\{f\,|\,(f:V\to V)\wedge (\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\cdot f(v)\oplus b\cdot f(w)\,]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b47a0c964a7003228af7b78c353d93e5f4145ed)
是定義在 的線性變換。
和 
是定義在體 上的線性空間，若函數 
滿足
![{\displaystyle (\forall v\in V)(\forall w\in W)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\circ f(v)\odot b\circ f(w)\,]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ee78111d2d8e0ad76f42d4b56c437523b77ff2e)
