( V , ⊕ , ⋅ ) {\displaystyle (V,\,\oplus ,\,\cdot )} 是定义在体 ( F , + , × ) {\displaystyle (F,\,+,\,\times )} 上的线性空间,若函数 f : V → V {\displaystyle f:V\to V} 满足
有时会定义
并以
来表示 f {\displaystyle f} 是定义在 V {\displaystyle V} 的线性变换。
我们可以把上面的定义稍作推广
( V , ⊕ , ⋅ ) {\displaystyle (V,\,\oplus ,\,\cdot )} 和 ( W , ⊙ , ∘ ) {\displaystyle (W,\,\odot ,\,\circ )} 是定义在体 ( F , + , × ) {\displaystyle (F,\,+,\,\times )} 上的线性空间,若函数 f : V → W {\displaystyle f:V\to W} 满足
从 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 到 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 的投影函数 π : R 3 → R 2 {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}
是一个线性变换。
它尊重加法:
和标量乘法:
由于这个函数不是单射(例如, 0 {\displaystyle \mathbf {0} } 和 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} 都被映射到 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中的零向量),它不是一个同构。