线性代数/线性变换

基本定义

$(V,\,\oplus ,\,\cdot )$ 是定义在体 $(F,\,+,\,\times )$ 上的线性空间，若函数 $f:V\to V$ 满足

$(\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\cdot f(v)\oplus b\cdot f(w)\,]$

称函数 $f$ 是定义在 $V$ 的线性变换(Linear Transformation)或线性算子(linear operator)。

有时会定义

$L(V):=\{f\,|\,(f:V\to V)\wedge (\forall v\in V)(\forall w\in V)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\cdot f(v)\oplus b\cdot f(w)\,]\}$

并以

$f\in L(V)$

来表示 $f$ 是定义在 $V$ 的线性变换。

我们可以把上面的定义稍作推广

$(V,\,\oplus ,\,\cdot )$ 和 $(W,\,\odot ,\,\circ )$ 是定义在体 $(F,\,+,\,\times )$ 上的线性空间，若函数 $f:V\to W$ 满足

$(\forall v\in V)(\forall w\in W)(\forall a\in F)(\forall b\in F)[\,f(a\cdot v\oplus b\cdot w)=a\circ f(v)\odot b\circ f(w)\,]$

称函数 $f$ 是从 $V$ 映射到 $W$的 线性变换。

示例1.2

从$\mathbb {R} ^{3}$到$\mathbb {R} ^{2}$的投影函数$\pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}$

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {\pi }{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$

是一个线性变换。

它尊重加法：

$\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}}\!+\!{\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})=\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\\z_{1}+z_{2}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}x_{1}+x_{2}\\y_{1}+y_{2}\end{pmatrix}}=\pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})+\pi ({\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}})$

和标量乘法：

$\pi (r\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})=\pi ({\begin{pmatrix}rx_{1}\\ry_{1}\\rz_{1}\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}rx_{1}\\ry_{1}\end{pmatrix}}=r\cdot \pi ({\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}})$

由于这个函数不是单射（例如，$\mathbf {0}$和$\mathbf {e} _{3}$都被映射到$\mathbb {R} ^{2}$中的零向量），它不是一个同构。