微積分學/泰勒級數

泰勒級數

編輯
泰勒級數

函數 泰勒級數泰勒展開式

 

  及其1, 3, 5, 7, 9, 1113階泰勒展開式的圖像

其中  的階乘,    階導數。若 ,級數又稱麥克勞林級數

通常情況下,這一級數收斂於 ,但需要注意的是,有些無限可導函數 的泰勒級數也收斂,但並不等於 。例如,分段函數  的各階導數均為0,所以 的麥克勞林級數為0,收斂半徑為無窮大,但函數值顯然並不是0。

原理

編輯

假設我們想要將函數表示為無窮冪級數,即:

 

其中 為收斂半徑, 為係數。用求和符號來表示,就是

 

接下來我們要求出各項的係數。顯然

 

於是得出 。至於其它項,我們把等式兩邊求導可得

 

 代入得

 

求二階導,我們又可以得到 ,即

 

再把 代入得

 

繼續求導,又能得到

 

再把 代入得

 

以此類推,求  次導可得

 

 

其中  ,以此類推。代入前面的這個式子

 

可以得到

 

泰勒級數列表

編輯

以下列出幾個重要的泰勒展開式。

指數函數和自然對數:

 
 

幾何級數:

 

二項式級數:

 

三角函數:

 
 
 
 
 
 

雙曲函數:

 
 
 
 
 

朗伯W函數:

 

其中 為伯努利數, 為二項式係數, 為歐拉數。

例題

編輯

求以下函數的麥克勞林級數

 

解答

編輯

已知自然對數

 

和餘弦函數

 

我們可以直接把第二個級數代入第一個,得到

 

運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為

 

求以下函數的麥克勞林級數

 

解答

編輯

已知指數函數

 

和餘弦函數

 

設待求級數為

 

等號兩邊同時乘分母並代換得

   
 
 

合併同類項得

 

與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為