泰勒級數
函數 的泰勒級數或泰勒展開式為
-
及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13階泰勒展開式的圖像
其中 為 的階乘, 為 在 的 階導數。若 ,級數又稱麥克勞林級數。
通常情況下,這一級數收斂於 ,但需要注意的是,有些無限可導函數 的泰勒級數也收斂,但並不等於 。例如,分段函數 在 的各階導數均為0,所以 的麥克勞林級數為0,收斂半徑為無窮大,但函數值顯然並不是0。
假設我們想要將函數表示為無窮冪級數,即:
-
其中 為收斂半徑, 為係數。用求和符號來表示,就是
-
接下來我們要求出各項的係數。顯然
-
於是得出 。至於其它項,我們把等式兩邊求導可得
-
把 代入得
-
求二階導,我們又可以得到 ,即
-
再把 代入得
-
繼續求導,又能得到
-
再把 代入得
-
以此類推,求 次導可得
-
即
-
其中 , ,以此類推。代入前面的這個式子
-
可以得到
-
以下列出幾個重要的泰勒展開式。
指數函數和自然對數:
-
-
幾何級數:
-
二項式級數:
-
三角函數:
-
-
-
-
-
-
雙曲函數:
-
-
-
-
-
朗伯W函數:
-
其中 為伯努利數, 為二項式係數, 為歐拉數。
求以下函數的麥克勞林級數
-
已知自然對數
-
和餘弦函數
-
我們可以直接把第二個級數代入第一個,得到
-
運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為
-
求以下函數的麥克勞林級數
-
已知指數函數
-
和餘弦函數
-
設待求級數為
-
等號兩邊同時乘分母並代換得
|
|
|
|
|
|
合併同類項得
-
與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為
-