泰勒级数
函数 的泰勒级数或泰勒展开式为
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及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13阶泰勒展开式的图像
其中 为 的阶乘, 为 在 的 阶导数。若 ,级数又称麦克劳林级数。
通常情况下,这一级数收敛于 ,但需要注意的是,有些无限可导函数 的泰勒级数也收敛,但并不等于 。例如,分段函数 在 的各阶导数均为0,所以 的麦克劳林级数为0,收敛半径为无穷大,但函数值显然并不是0。
假设我们想要将函数表示为无穷幂级数,即:
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其中 为收敛半径, 为系数。用求和符号来表示,就是
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接下来我们要求出各项的系数。显然
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于是得出 。至于其它项,我们把等式两边求导可得
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把 代入得
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求二阶导,我们又可以得到 ,即
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再把 代入得
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继续求导,又能得到
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再把 代入得
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以此类推,求 次导可得
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即
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其中 , ,以此类推。代入前面的这个式子
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可以得到
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以下列出几个重要的泰勒展开式。
指数函数和自然对数:
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几何级数:
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二项式级数:
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三角函数:
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双曲函数:
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朗伯W函数:
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其中 为伯努利数, 为二项式系数, 为欧拉数。
求以下函数的麦克劳林级数
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已知自然对数
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和余弦函数
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我们可以直接把第二个级数代入第一个,得到
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运用多项式定理展开即可得麦克劳林级数为
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求以下函数的麦克劳林级数
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已知指数函数
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和余弦函数
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设待求级数为
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等号两边同时乘分母并代换得
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合并同类项得
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与指数函数的麦克劳林级数比较可得待求级数为
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