微積分學/泰勒級數

泰勒級數

泰勒級數

函數$f(x)$的泰勒級數或泰勒展開式為

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

$\sin x$及其1, 3, 5, 7, 9, 11和13階泰勒展開式的圖像

其中$n!$為$n$的階乘，$f^{(n)}(a)$為$f$在$a$的$n$階導數。若$a=0$，級數又稱麥克勞林級數。

通常情況下，這一級數收斂於$f(x)$，但需要注意的是，有些無限可導函數$f(x)$的泰勒級數也收斂，但並不等於$f(x)$。例如，分段函數$f(x)={\begin{cases}0&x=0\\e^{-{\frac {1}{x^{2}}}}&x\neq 0\end{cases}}$在$x=0$的各階導數均為0，所以$f(x)$的麥克勞林級數為0，收斂半徑為無窮大，但函數值顯然並不是0。

原理

假設我們想要將函數表示為無窮冪級數，即：

$f(x)={c_{0}}(x-a)^{0}+c_{1}(x-a)^{1}+c_{2}(x-a)^{2}+c_{3}(x-a)^{3}+\cdots +c_{n}(x-a)^{n}+\cdots$

其中$a$為收斂半徑，$c_{0},c_{1},c_{2},\dots ,c_{n},\dots$為係數。用求和符號來表示，就是

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$

接下來我們要求出各項的係數。顯然

$f(a)=c_{0}$

於是得出$c_{0}$。至於其它項，我們把等式兩邊求導可得

$f'(x)=c_{1}(x-a)^{0}+2c_{2}(x-a)^{1}+3c_{3}(x-a)^{2}+4c_{4}(x-a)^{3}+\cdots +nc_{n}(x-a)^{(n-1)}+\cdots$

把$a$代入得

$f'(a)=c_{1}$

求二階導，我們又可以得到$c_{2}$，即

$f''(x)=2c_{2}+(2\times 3)c_{3}(x-a)^{1}+(3\times 4)c_{4}(x-a)^{2}+\cdots +(n)(n-1)c_{n}(x-a)^{(n-2)}+\cdots$

再把$a$代入得

$f''(a)=2c_{2}$

繼續求導，又能得到

$f'''(x)=(2\times 3)c_{3}(x-a)^{0}+(2\times 3\times 4)c_{4}(x-a)^{1}+(3\times 4\times 5)c_{5}(x-a)^{2}+\cdots +(n)(n-1)(n-2)c_{n}(x-a)^{n-3}$

再把$a$代入得

$f'''(a)=(2\times 3)c_{3}$

以此類推，求 $n$次導可得

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(a)=n!\times c_{n}$

即

$c_{n}={\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}$

其中$f^{(0)}(x)=f(x)$，$f^{(1)}(x)=f'(x)$，以此類推。代入前面的這個式子

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n}$

可以得到

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}$

泰勒級數列表

以下列出幾個重要的泰勒展開式。

指數函數和自然對數：

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\quad {\text{对 任 意 }}x$

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}x^{n}\quad |x|<1$

幾何級數：

${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\quad |x|<1$

二項式級數：

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}\quad |x|<1$

三角函數：

$\sin x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}}x^{2n-1}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$

$\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}$

$\arcsin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|<1$

$\arctan x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}\quad |x|<1$

雙曲函數：

$\sinh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}\quad {\text{对 任 意 }}x$

$\cosh x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\quad {\text{对 任 意 }}x$

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}\quad |x|<{\frac {\pi }{2}}$

${\rm {arsinh}}x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}\quad |x|<1$

${\rm {artanh}}x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}}{2n-1}}\quad |x|<1$

朗伯W函數：

$W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}\quad |x|<{\frac {1}{e}}$

其中$B_{k}$為伯努利數，${\binom {\alpha }{n}}$為二項式係數，$E_{k}$為歐拉數。

例題

例1

求以下函數的麥克勞林級數

$f(x)=\ln {\big (}1+\cos x{\big )}$

解答

已知自然對數

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \quad |x|<1$

和餘弦函數

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \quad {\text{对 任 意 }}x\in \mathbb {C}$

我們可以直接把第二個級數代入第一個，得到

$\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)-{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)^{2}+{\frac {1}{3}}\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)^{3}-\cdots$

運用多項式定理展開即可得麥克勞林級數為

$\ln {\big (}1+\cos x{\big )}=\ln 2-{\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x^{4}}{96}}-{\frac {x^{6}}{1440}}-{\frac {17x^{8}}{322560}}-{\frac {31x^{10}}{7257600}}-\cdots$

例2

求以下函數的麥克勞林級數

$g(x)={\frac {e^{x}}{\cos x}}$

解答

已知指數函數

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots$

和餘弦函數

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots$

設待求級數為

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots$

等號兩邊同時乘分母並代換得

$e^{x}$	$={\big (}c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+\cdots {\big )}\cos x$
	$=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)$
	$=c_{0}-{\frac {c_{0}}{2}}x^{2}+{\frac {c_{0}}{4!}}x^{4}+c_{1}x-{\frac {c_{1}}{2}}x^{3}+{\frac {c_{1}}{4!}}x^{5}+c_{2}x^{2}-{\frac {c_{2}}{2}}x^{4}+{\frac {c_{2}}{4!}}x^{6}+c_{3}x^{3}-{\frac {c_{3}}{2}}x^{5}+{\frac {c_{3}}{4!}}x^{7}+\cdots$

合併同類項得

$e^{x}=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2}}\right)x^{3}+\left(c_{4}+{\frac {c_{0}}{4!}}-{\frac {c_{2}}{2}}\right)x^{4}+\cdots$

與指數函數的麥克勞林級數比較可得待求級數為

${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\frac {2x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{2}}+\cdots$