微积分学/泰勒级数

泰勒级数

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泰勒级数

函数 泰勒级数泰勒展开式

 

  及其1, 3, 5, 7, 9, 1113阶泰勒展开式的图像

其中  的阶乘,    阶导数。若 ,级数又称麦克劳林级数

通常情况下,这一级数收敛于 ,但需要注意的是,有些无限可导函数 的泰勒级数也收敛,但并不等于 。例如,分段函数  的各阶导数均为0,所以 的麦克劳林级数为0,收敛半径为无穷大,但函数值显然并不是0。

原理

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假设我们想要将函数表示为无穷幂级数,即:

 

其中 为收敛半径, 为系数。用求和符号来表示,就是

 

接下来我们要求出各项的系数。显然

 

于是得出 。至于其它项,我们把等式两边求导可得

 

 代入得

 

求二阶导,我们又可以得到 ,即

 

再把 代入得

 

继续求导,又能得到

 

再把 代入得

 

以此类推,求  次导可得

 

 

其中  ,以此类推。代入前面的这个式子

 

可以得到

 

泰勒级数列表

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以下列出几个重要的泰勒展开式。

指数函数和自然对数:

 
 

几何级数:

 

二项式级数:

 

三角函数:

 
 
 
 
 
 

双曲函数:

 
 
 
 
 

朗伯W函数:

 

其中 为伯努利数, 为二项式系数, 为欧拉数。

例题

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求以下函数的麦克劳林级数

 

解答

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已知自然对数

 

和余弦函数

 

我们可以直接把第二个级数代入第一个,得到

 

运用多项式定理展开即可得麦克劳林级数为

 

求以下函数的麦克劳林级数

 

解答

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已知指数函数

 

和余弦函数

 

设待求级数为

 

等号两边同时乘分母并代换得

   
 
 

合并同类项得

 

与指数函数的麦克劳林级数比较可得待求级数为