雙生質數

什麼是孿生質數猜想

質數p與質數p+2有無窮多對

孿生質數的公式

利用質數的判定法則，可以得到以下的結論：「若自然數$q$與$q+2$都不能被任何不大於${\sqrt {q+2}}$的質數 整除，則$q$與$q+2$都是質數」。這是因為一個自然數$n$是質數若且唯若它不能被任何小於等於${\sqrt {n}}$的質數整除。 用數學的語言表示以上的結論，就是：

存在一組自然數$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$，使得

$q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots =p_{k}m_{k}+b_{k}\qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (1)$

其中 $p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}$表示從小到大排列時的前k個質數：2，3，5，....。並且滿足

$\forall 1\leq i\leq k,\ \ 0<b_{i}<p_{i},\ b_{i}\neq 0,\ b_{i}\neq p_{i}-2.$

這樣解得的自然數$q$如果滿足$q<p_{K+1}^{2}-2$,則$q$與$q+2$是一對孿生質數。 我們可以把（1）式的內容等價轉換成為同餘方程組表示：

$q\equiv b_{1}{\pmod {p_{1}}},q\equiv b_{2}{\pmod {p_{2}}},\dots ,q\equiv b_{k}{\pmod {p_{k}}}\qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (2)$

由於（2）的模$p_{1}$,$p_{2}$,...,$p_{k}$都是質數，因此兩兩互素，根據孫子定理（中國剩餘定理）知，對於給定的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$，（2）式有唯一一個小於$p_{1}p_{2}\cdots p_{k}$的正整數解。

範例

例如k=1時，$q=2m_{1}+1$，解得$q=3,5$。由於$5<3^{2}-2$，所以可知$3$與$3+2$、$5$與$5+2$都是孿生質數。這樣就求得了區間$(3,3^{2})$里的全部孿生質數對。

又比如k=2時，列出方程$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2$，解得$q=5,11,17$。由於$17<5^{2}-2$，所以$11$與$11+2$、$17$與$17+2$都是了孿生質數。由於這已經是所有可能的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$值，所以這樣就求得了區間$(5,5^{2})$的全部孿生質數對。

k=3時	$5m_{3}+1$	$5m_{3}+2$	$5m_{3}+4$
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2$=	11,41	17	29

由於這已經是所有可能的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$值，所以這樣就求得了區間$(7,7^{2})$的全部孿生質數對。

k=4時	$7m_{4}+1$	$7m_{4}+2$	$7m_{4}+3$	$7m_{4}+4$	$7m_{4}+6$
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1$=	71	191	101	11	41
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2$=	197	107	17	137	167
$q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+4$=	29	149	59	179	209

　　 　由於這已經是所有可能的$b_{1},b_{2},\cdot ,b_{k}$值，所以這樣就求得了區間$(11,11^{2})$的全部孿生質數對（8個小於121-2的解）。　　　 　　 仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生質數對。對於所有可能的$b_{1},b_{2}\cdot ,b_{k}$值，(1)和(2)式在$p_{1}$$p_{2}$...$p_{k}$範圍內，有 （$p_{1}-1$）（$p_{2}-2$）($p_{3}-2$)...（$p_{k}-2$）（3） 個解。

結論推廣

孿生質數猜想就是在k值任意大時（1）和（2）式都有小於$p_{k+1}^{2}-2$的解。

參考文獻

【孿生質數公式】中等數學雜誌，2000年1期