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利用素数的判定法则,可以得到以下的结论:“若自然数 与 都不能被任何不大于 的素数
整除,则 与 都是素数”。这是因为一个自然数 是素数当且仅当它不能被任何小于等于 的素数整除。
用数学的语言表示以上的结论,就是:
- 存在一组自然数 ,使得
-
其中 表示从小到大排列时的前k个素数:2,3,5,....。并且满足
-
这样解得的自然数 如果满足 ,则 与 是一对孪生素数。
我们可以把(1)式的内容等价转换成为同余方程组表示:
-
由于(2)的模 , ,..., 都是素数,因此两两互素,根据孙子定理(中国剩余定理)知,对于给定的 ,(2)式有唯一一个小于 的正整数解。
例如k=1时, ,解得 。由于 ,所以可知 与 、 与 都是孪生素数。这样就求得了区间 里的全部孪生素数对。
又比如k=2时,列出方程 ,解得 。由于 ,所以 与 、 与 都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的 值,所以这样就求得了区间 的全部孪生素数对。
k=3时 |
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= |
11,41 |
17 |
29
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由于这已经是所有可能的 值,所以这样就求得了区间 的全部孪生素数对。
k=4时 |
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|
= |
71 |
191 |
101 |
11 |
41
|
= |
197 |
107 |
17 |
137 |
167
|
= |
29 |
149 |
59 |
179 |
209
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由于这已经是所有可能的 值,所以这样就求得了区间 的全部孪生素数对(8个小于121-2的解)。
仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。对于所有可能的 值,(1)和(2)式在 ... 范围内,有
( )( )( )...( )(3)
个解。
孪生素数猜想就是在k值任意大时(1)和(2)式都有小于 的解。