什麼是孿生素數猜想

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素數p與素數p+2有無窮多對

孿生素數的公式

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利用素數的判定法則,可以得到以下的結論:「若自然數  都不能被任何不大於 的素數 整除,則  都是素數」。這是因為一個自然數 是素數當且僅當它不能被任何小於等於 的素數整除。 用數學的語言表示以上的結論,就是:

存在一組自然數 ,使得
 

其中  表示從小到大排列時的前k個素數:2,3,5,....。並且滿足

 

這樣解得的自然數 如果滿足 ,則  是一對孿生素數。 我們可以把(1)式的內容等價轉換成為同餘方程組表示:

 

由於(2)的模 , ,..., 都是素數,因此兩兩互素,根據孫子定理(中國剩餘定理)知,對於給定的 ,(2)式有唯一一個小於 的正整數解。

範例

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例如k=1時, ,解得 。由於 ,所以可知    都是孿生素數。這樣就求得了區間 里的全部孿生素數對。

又比如k=2時,列出方程 ,解得 。由於 ,所以    都是了孿生素數。由於這已經是所有可能的 值,所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數對。

k=3時      
 = 11,41 17 29

由於這已經是所有可能的 值,所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數對。

k=4時          
 = 71 191 101 11 41
 = 197 107 17 137 167
 = 29 149 59 179 209

    由於這已經是所有可能的 值,所以這樣就求得了區間 的全部孿生素數對(8個小於121-2的解)。       仿此下去可以一個不漏地求得任意大的數以內的全部孿生素數對。對於所有可能的 值,(1)和(2)式在  ... 範圍內,有 ( )( )( )...( )(3) 個解。

結論推廣

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孿生素數猜想就是在k值任意大時(1)和(2)式都有小於 的解。

參考文獻

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【孿生質數公式】中等數學雜誌,2000年1期