指数与指数幂的运算
编辑根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。
有理指数及其运算
编辑定义:若 ,其中 , 是正整数,则称 是 的 次方根。容易看出,若 为奇数,则 存在唯一的 次方根,我们记做 。而若 为偶数,当 为负数时无 次方根, 是有唯一 次方根0, 时有两个互为相反数的 次方根,记正的 次方根为 ,负的 次方根为 。
有了n次方根的定义,我们就可以定义有理数次幂的概念。
定义1:设 为互素的正整数, 为正数,定义 。
定义2:设 是负有理数, 是正数,则定义 。
这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则:
- (其中 为正数, 为有理数)
如此,我们就把指数的概念推广到了有理数,我们接下来将这一概念推广到全体实数。
无理指数及其运算
编辑无理数指数幂的运算与有理数相同,可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。
指数函数
编辑什么是指数函数?
编辑一般的,形如 ( 且 )的函数称作指数函数。
图像
编辑指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线,x轴是它的渐近线,如图1.
性质
编辑相关属性 | |||
---|---|---|---|
图像 | |||
相同点 | 经过的定点 | (0,1) | |
奇偶性 | 非奇非偶 | ||
定义域和值域 | 定义域 ;值域 | ||
不同点 | 单调性 | 单调递增 | 单调递减 |
对应值 | 当 时, ; 时, | 当 时, ; 时, | |
与x、y轴的关系 | 越大,向上越靠近y轴,向下越靠近x轴 | 越小,向上越靠近y轴,向下越靠近x轴 |
对数及其运算
编辑什么是对数?
编辑一般的,若 ( 且 ),那么 就可以称作以 为底N的对数,记作
根据定义可以看出,指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提,关于对数的问题可以用指数作为桥梁。
特殊对数:
编辑以10为底的对数称作常用对数,记作
以无理数 为底的对数称作自然对数,记作
根据对数的定义可以得到对数的性质:
编辑- 负数和0没有对数,即 中,
- 1的对数是0
- 底数的对数为1
- 对数恒等式:
对数的运算性质:
编辑对数函数是,那么可以将 称作以 为底N的对数,记作 指数函数的反函数。也就是 。
可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢,就用新符号 表达,也就是
( 表示两函数等价)
对数函数在历史上备受重视,可是现在用处很少,基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是 (上文提到过的),数学家为了符号简略,把 简写为