指數與指數冪的運算
編輯根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。
有理指數及其運算
編輯定义:若 ,其中 , 是正整数,则称 是 的 次方根。容易看出,若 为奇数,则 存在唯一的 次方根,我们记做 。而若 为偶数,当 为负数时无 次方根, 是有唯一 次方根0, 时有两个互为相反数的 次方根,记正的 次方根为 ,负的 次方根为 。
有了n次方根的定義,我們就可以定義有理數次冪的概念。
定义1:设 为互素的正整数, 为正数,定义 。
定义2:设 是负有理数, 是正数,则定义 。
這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則:
- (其中 為正數, 為有理數)
如此,我們就把指數的概念推廣到了有理數,我們接下來將這一概念推廣到全體實數。
無理指數及其運算
編輯無理數指數冪的運算與有理數相同,可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。
指數函數
編輯什麼是指數函數?
編輯一般的,形如 ( 且 )的函數稱作指數函數。
圖像
編輯指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線,x軸是它的漸近線,如圖1.
性質
編輯相關屬性 | |||
---|---|---|---|
圖像 | |||
相同點 | 經過的定點 | (0,1) | |
奇偶性 | 非奇非偶 | ||
定義域和值域 | 定義域 ;值域 | ||
不同點 | 單調性 | 單調遞增 | 單調遞減 |
對應值 | 當 時, ; 時, | 當 時, ; 時, | |
與x、y軸的關係 | 越大,向上越靠近y軸,向下越靠近x軸 | 越小,向上越靠近y軸,向下越靠近x軸 |
對數及其運算
編輯什麼是對數?
編輯一般的,若 ( 且 ),那么 就可以称作以 为底N的对数,记作
根據定義可以看出,指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提,關於對數的問題可以用指數作為橋樑。
特殊對數:
編輯以10為底的對數稱作常用對數,記作
以無理數 為底的對數稱作自然對數,記作
根據對數的定義可以得到對數的性質:
編輯- 負數和0沒有對數,即 中,
- 1的對數是0
- 底數的對數為1
- 對數恆等式:
對數的運算性質:
編輯對數函數是,那麼可以將 稱作以 為底N的對數,記作 指數函數的反函數。也就是 。
可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢,就用新符號 表達,也就是
( 表示兩函數等價)
對數函數在歷史上備受重視,可是現在用處很少,基本只在微積分學裏使用。微積分學裏對數的底都是 (上文提到過的),數學家為了符號簡略,把 簡寫為