高中數學（版聊式）/必修一/基本初等函數/指數函數與對數函數

指數與指數冪的運算

根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。

有理指數及其運算

定义：若$x^{n}=a$，其中$a\in R$，$n$是正整数，则称$x$是$a$的$n$次方根。容易看出，若$n$为奇数，则$a$存在唯一的$n$次方根，我们记做${\sqrt[{n}]{a}}$。而若$n$为偶数，当$a$为负数时无$n$次方根，$a=0$是有唯一$n$次方根0,$a>0$时有两个互为相反数的$n$次方根，记正的$n$次方根为${\sqrt[{n}]{a}}$，负的$n$次方根为$-{\sqrt[{n}]{a}}$  。

有了n次方根的定義，我們就可以定義有理數次冪的概念。

定义1：设$m,n$为互素的正整数，$a$为正数，定义$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$。

定义2：设$r$是负有理数，$a$是正数，则定义$a^{r}={\frac {1}{a^{-r}}}$。

這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則：

1. $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$
2. $(a^{r})^{s}=a^{rs}$
3. $(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$(其中$a,b$為正數，$r,s$為有理數)

如此，我們就把指數的概念推廣到了有理數，我們接下來將這一概念推廣到全體實數。

無理指數及其運算

無理數指數冪的運算與有理數相同，可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。

指數函數

什麼是指數函數？

一般的，形如$y=a^{x}$($a>0$且$a\neq 1$)的函數稱作指數函數。

圖像

圖1：指數函數y=3^x的圖像（用幾何畫板5.06繪製）

指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線，x軸是它的漸近線，如圖1.

性質

相關屬性		$a>1$	$0<a<1$
圖像		$Y=2^{x}$函數圖象（用幾何畫板5.06繪製）	$Y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}$的圖像
相同點	經過的定點	（0,1）
	奇偶性	非奇非偶
	定義域和值域	定義域$A\in R$；值域$C\in \left(0,+\infty \right)$
不同點	單調性	單調遞增	單調遞減
	對應值	當$x>0$時，$y>1$；$x<0$時，$y<1$	當$x>0$時，$y<1$；$x<0$時，$y>1$
	與x、y軸的關係	$a$越大，向上越靠近y軸，向下越靠近x軸	$a$越小，向上越靠近y軸，向下越靠近x軸

對數及其運算

什麼是對數？

一般的，若$a^{x}>N$（$a>0$且$a\neq 1$），那么$x$就可以称作以$a$为底N的对数，记作$x=\log _{a}N$

根據定義可以看出，指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提，關於對數的問題可以用指數作為橋樑。

特殊對數：

以10為底的對數稱作常用對數，記作$\lg x$

以無理數$e=2.71828...$為底的對數稱作自然對數，記作$\ln x$

根據對數的定義可以得到對數的性質：

• 負數和0沒有對數，即$\log _{a}N$中，$N>0$
• 1的對數是0
• 底數的對數為1
• 對數恆等式：$a^{\log _{a}N}=N$ $\log _{a}a^{x}=x$

對數的運算性質：

• $\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$
• $\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$
• $\log _{a}M^{n}=n\log _{a}M$

• $\log _{a^{r}}N^{s}=\left({\frac {s}{r}}\right)\log _{a}N$

對數函數是，那麼可以將$x$稱作以$a$為底N的對數，記作$x=\log _{a}N$指數函數的反函數。也就是$x=y^{a}$。

可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢，就用新符號$\log$表達，也就是

$a^{y}=x\equiv y=\log _{a}x$（$\equiv$表示兩函數等價）

對數函數在歷史上備受重視，可是現在用處很少，基本只在微積分學裏使用。微積分學裏對數的底都是$e$（上文提到過的），數學家為了符號簡略，把$\log _{e}x$簡寫為$\ln x$