高中數學（版聊式）/必修一/基本初等函數/指數函數與對數函數

指數與指數冪的運算

根據圖像查看指數的值等,觀察其是一次函數,正比例函數,二次函數,反比例函數,一元二次函數等。

有理指數及其運算

定义：若 $x^{n}=a$ ，其中 $a\in R$ ， $n$ 是正整数，则称 $x$ 是 $a$ 的 $n$ 次方根。容易看出，若 $n$ 为奇数，则 $a$ 存在唯一的 $n$ 次方根，我们记做 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 。而若 $n$ 为偶数，当 $a$ 为负数时无 $n$ 次方根， $a=0$ 是有唯一 $n$ 次方根0, $a>0$ 时有两个互为相反数的 $n$ 次方根，记正的 $n$ 次方根为 ${\sqrt[{n}]{a}}$ ，负的 $n$ 次方根为 $-{\sqrt[{n}]{a}}$   。

有了n次方根的定義，我們就可以定義有理數次冪的概念。

定义1：设 $m,n$ 为互素的正整数， $a$ 为正数，定义 $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ 。

定义2：设 $r$ 是负有理数， $a$ 是正数，则定义 $a^{r}={\frac {1}{a^{-r}}}$ 。

這樣定義的有理指數冪滿足下面的運算法則：

$a^{r}a^{s}=a^{r+s}$
$(a^{r})^{s}=a^{rs}$
$(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$ (其中 $a,b$ 為正數， $r,s$ 為有理數)

如此，我們就把指數的概念推廣到了有理數，我們接下來將這一概念推廣到全體實數。

無理指數及其運算

無理數指數冪的運算與有理數相同，可以按照有理數指數冪的運算方法運算無理數指數冪。

指數函數

什麼是指數函數？

一般的，形如 $y=a^{x}$ ( $a>0$ 且 $a\neq 1$ )的函數稱作指數函數。

圖像

圖1：指數函數y=3^x的圖像（用幾何畫板5.06繪製）

指數函數的圖像是一條在x軸上方的曲線，x軸是它的漸近線，如圖1.

性質

相關屬性		$a>1$	$0<a<1$
圖像		$Y=2^{x}$ 函數圖象（用幾何畫板5.06繪製）	$Y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}$ 的圖像
相同點	經過的定點	（0,1）
	奇偶性	非奇非偶
	定義域和值域	定義域 $A\in R$ ；值域 $C\in \left(0,+\infty \right)$
不同點	單調性	單調遞增	單調遞減
	對應值	當 $x>0$ 時， $y>1$ ； $x<0$ 時， $y<1$	當 $x>0$ 時， $y<1$ ； $x<0$ 時， $y>1$
	與x、y軸的關係	$a$ 越大，向上越靠近y軸，向下越靠近x軸	$a$ 越小，向上越靠近y軸，向下越靠近x軸

對數及其運算

什麼是對數？

一般的，若 $a^{x}>N$ （ $a>0$ 且 $a\neq 1$ ），那么 $x$ 就可以称作以 $a$ 为底N的对数，记作 $x=\log _{a}N$

根據定義可以看出，指數和對數是可以互相轉化的。指數是對數的前提，關於對數的問題可以用指數作為橋梁。

特殊對數：

以10為底的對數稱作常用對數，記作 $\lg x$

以無理數 $e=2.71828...$ 為底的對數稱作自然對數，記作 $\ln x$

根據對數的定義可以得到對數的性質：

負數和0沒有對數，即 $\log _{a}N$ 中， $N>0$
1的對數是0
底數的對數為1
對數恆等式： $a^{\log _{a}N}=N$ $\log _{a}a^{x}=x$

對數的運算性質：

$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$
$\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$
$\log _{a}M^{n}=n\log _{a}M$

$\log _{a^{r}}N^{s}=\left({\frac {s}{r}}\right)\log _{a}N$

對數函數是，那麼可以將 $x$ 稱作以 $a$ 為底N的對數，記作 $x=\log _{a}N$ 指數函數的反函數。也就是 $x=y^{a}$ 。

可是用多項式、三角函數、指數函數都沒有辦法表示這個函數。因此呢，就用新符號 $\log$ 表達，也就是

$a^{y}=x\equiv y=\log _{a}x$ （ $\equiv$ 表示兩函數等價）

對數函數在歷史上備受重視，可是現在用處很少，基本只在微積分學裡使用。微積分學裡對數的底都是 $e$ （上文提到過的），數學家為了符號簡略，把 $\log _{e}x$ 簡寫為 $\ln x$