高中数学（版聊式）/必修一/基本初等函数/指数函数与对数函数

指数与指数幂的运算

根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。

有理指数及其运算

定义：若 $x^{n}=a$ ，其中 $a\in R$ ， $n$ 是正整数，则称 $x$ 是 $a$ 的 $n$ 次方根。容易看出，若 $n$ 为奇数，则 $a$ 存在唯一的 $n$ 次方根，我们记做 ${\sqrt[{n}]{a}}$ 。而若 $n$ 为偶数，当 $a$ 为负数时无 $n$ 次方根， $a=0$ 是有唯一 $n$ 次方根0, $a>0$ 时有两个互为相反数的 $n$ 次方根，记正的 $n$ 次方根为 ${\sqrt[{n}]{a}}$ ，负的 $n$ 次方根为 $-{\sqrt[{n}]{a}}$   。

有了n次方根的定义，我们就可以定义有理数次幂的概念。

定义1：设 $m,n$ 为互素的正整数， $a$ 为正数，定义 $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$ 。

定义2：设 $r$ 是负有理数， $a$ 是正数，则定义 $a^{r}={\frac {1}{a^{-r}}}$ 。

这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则：

$a^{r}a^{s}=a^{r+s}$
$(a^{r})^{s}=a^{rs}$
$(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$ (其中 $a,b$ 为正数， $r,s$ 为有理数)

如此，我们就把指数的概念推广到了有理数，我们接下来将这一概念推广到全体实数。

无理指数及其运算

无理数指数幂的运算与有理数相同，可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。

指数函数

什么是指数函数？

一般的，形如 $y=a^{x}$ ( $a>0$ 且 $a\neq 1$ )的函数称作指数函数。

图像

图1：指数函数y=3^x的图像（用几何画板5.06绘制）

指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线，x轴是它的渐近线，如图1.

性质

相关属性		$a>1$	$0<a<1$
图像		$Y=2^{x}$ 函数图象（用几何画板5.06绘制）	$Y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}$ 的图像
相同点	经过的定点	（0,1）
	奇偶性	非奇非偶
	定义域和值域	定义域 $A\in R$ ；值域 $C\in \left(0,+\infty \right)$
不同点	单调性	单调递增	单调递减
	对应值	当 $x>0$ 时， $y>1$ ； $x<0$ 时， $y<1$	当 $x>0$ 时， $y<1$ ； $x<0$ 时， $y>1$
	与x、y轴的关系	$a$ 越大，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴	$a$ 越小，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴

对数及其运算

什么是对数？

一般的，若 $a^{x}>N$ （ $a>0$ 且 $a\neq 1$ ），那么 $x$ 就可以称作以 $a$ 为底N的对数，记作 $x=\log _{a}N$

根据定义可以看出，指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提，关于对数的问题可以用指数作为桥梁。

特殊对数：

以10为底的对数称作常用对数，记作 $\lg x$

以无理数 $e=2.71828...$ 为底的对数称作自然对数，记作 $\ln x$

根据对数的定义可以得到对数的性质：

负数和0没有对数，即 $\log _{a}N$ 中， $N>0$
1的对数是0
底数的对数为1
对数恒等式： $a^{\log _{a}N}=N$ $\log _{a}a^{x}=x$

对数的运算性质：

$\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$
$\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$
$\log _{a}M^{n}=n\log _{a}M$

$\log _{a^{r}}N^{s}=\left({\frac {s}{r}}\right)\log _{a}N$

对数函数是，那么可以将 $x$ 称作以 $a$ 为底N的对数，记作 $x=\log _{a}N$ 指数函数的反函数。也就是 $x=y^{a}$ 。

可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢，就用新符号 $\log$ 表达，也就是

$a^{y}=x\equiv y=\log _{a}x$ （ $\equiv$ 表示两函数等价）

对数函数在历史上备受重视，可是现在用处很少，基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是 $e$ （上文提到过的），数学家为了符号简略，把 $\log _{e}x$ 简写为 $\ln x$