微積分學/基礎知識

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一階邏輯

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集合

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函數

零、基本邏輯

1. 推理與真假值

推理是種符號組合的遊戲，比如說，一般人都會認為「如果這本書不在圖書館，（則）這本書一定是被借走了」，這樣的話，若圖書館裏沒有這本書，那理應有「這本書被借走了」的結論。說的抽象一點，若有「A則B」和「A」，那會得到「B」，這是一條（目前人類公認）的語言推理規則，它通常被稱為肯定前件。

可以發現上一段的討論，是建立在任何一段敘述都有真有假的前提上。為了方便以後的討論，如果一段敘述為真，我們會說「這段敘述的真值為$\top$」；反之如果一段敘述為假，我們會說「這段敘述的真值為$\bot$」。

2. 邏輯連接詞

數學的敘述裏總會包含「非/不」、「則」、「且」和「或」這些詞彙，這些詞彙被統稱為邏輯連接詞，仔細來說，它們代表

• 「非A」 為真，意思是A為假，可記為「$\neg$ A」。
• 「A則B」為真，意思是不可能有A為真但B為假的狀況，可記為「A $\Rightarrow$ B」。
• 「A且B」為真，意思是A與B都為真，可記為「A $\wedge$ B」。
• 「A或B」為真，意思是A與B至少一者為真，可記為「A $\vee$ B」。

以下的真值表更清楚地展示以上的語義說明

A $\neg$ A $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\Rightarrow$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\top$

A B A $\wedge$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

A B A $\vee$ B $\top$ $\top$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\bot$ $\top$ $\top$ $\bot$ $\bot$ $\bot$

3.量詞與變數

「存在實數大於零」，或是「對任意實數x和y，x=y 或 x<y 或 x>y」是大家所孰悉的數學敘述。但仔細來說，以上兩句代表

「存在x，x是實數且 x> 0」

「對所有x和所有y，若x為實數且y為實數 x=y 或 x<y 或 x>y」

也就是說，「所有/任意」和「有/存在」這兩種詞彙，都須依託於變數的幫助，才能清楚的表達意義，所以這兩種詞會被統稱為量詞。

一、集合：

集合的觀念與「屬於」這個謂詞是密不可分的。某個物體稱為「集合」意思是有其他東西屬於它。

集合的定義：一般地，我們把研究對象稱為元素，一些元素組成的總體稱為集合。

集合的特點：

確定性：一個元素要麼是集合$A$的元素，要麼不是集合$A$的元素，兩種情況必有一種且只有一種成立。

互異性：集合中的元素不重複。

無序性：集合中的元素不考慮順序。

二、區間、鄰域︰

區間是一類數的集合，在數學中經常使用。

• 有限區間

設$a,b\in R$。

數集$\left\{x|a<x<b\right\}$　稱為開區間，記作$\left(a,b\right)$　即$\left(a,b\right)=\left\{x|a<x<b\right\}$。

數集$\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$　稱為閉區間，記作$\left[a,b\right]$　即$\left[a,b\right]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$。

同樣，把

$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$，

$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$

稱為半開區間。

• 鄰域

以點$a$為中心的任何區間稱為$a$的鄰域，記作$U(a)$。鄰域一般為有限區間

設$\delta$是任一正數，則區間$\left(a-\delta ,a+\delta \right)$就是點$a$的一個鄰域，稱此為點$a$的$\delta$鄰域，記作$U(a,\delta )$，

即$U\left(a,\delta \right)=\left\{a-\delta <x<a+\delta \right\}$，亦可記作$U\left(a,\delta \right)=\left\{x|\left\vert x-a\right\vert <\delta \right\}$

稱$a$為此鄰域的中心，$\delta$為鄰域的半徑。

同時，把點$a$的$\delta$鄰域去掉中心$a$後，稱為點$a$的去心的$\delta$鄰域。

• 無限區間：

$\left(a,+\infty \right)=\left\{x|a<x\right\}$，

$[a,+\infty )=\left\{x|a\leq x\right\}$，

$\left(-\infty ,b\right)=\left\{x|x<b\right\}$，

$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$，

$\left(-\infty ,+\infty \right)$即區間元素$x$屬於全體實數$R$。

三、常量與變量：

在一個變化過程中，固定不變的量叫做常量，變化的量叫做變量。

如對於過程：路程＝速度×時間，公式表達為$s=vt$。

在此公式中，如果一輛小車以60km/h勻速直線運動，則速度$v$為常量，因為隨着時間$t$的增大，路程$s$也會增大，所以$t$和$s$是變量。

也可以說$s$是$t$的函數。

補充：一次函數解析式為$y=kx+b$，特別的，當$b=0$，函數變為$y=kx$，此時，稱它是正比例函數。

四、函數：

對於集合$A$中的任何一個元素，在集合$B$中都有唯一的元素與它對應，這樣的關係叫從集合$A$到集合$B$的映射或函數。

大多數情況下，映射規則是有序的。

函數表示形為：$y=f(x)$。

其中$y$是函數值（或在不引起歧義的情況下，簡稱為函數），$f$是對應法則，$x$是自變量。

注意：有些地方稱$y$為因變量，在數學中，這種表述是不嚴謹的，應引起注意。