微积分学/基础知识

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基础知识
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零、基本逻辑

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1. 推理与真假值

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推理是种符号组合的游戏,比如说,一般人都会认为“如果这本书不在图书馆,(则)这本书一定是被借走了”,这样的话,若图书馆里没有这本书,那理应有“这本书被借走了”的结论。说的抽象一点,若有“A则B”和“A”,那会得到“B”,这是一条(目前人类公认)的语言推理规则,它通常被称为肯定前件

可以发现上一段的讨论,是建立在任何一段叙述都有真有假的前提上。为了方便以后的讨论,如果一段叙述为真,我们会说“这段叙述的真值为 ”;反之如果一段叙述为假,我们会说“这段叙述的真值为 ”。

2. 逻辑连接词

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数学的叙述里总会包含“非/不”、“则”、“且”和“或”这些词汇,这些词汇被统称为逻辑连接词,仔细来说,它们代表

  • “非A” 为真,意思是A为假,可记为“  A”。
  • “A则B”为真,意思是不可能有A为真但B为假的状况,可记为“A   B”。
  • “A且B”为真,意思是A与B都为真,可记为“A   B”。
  • “A或B”为真,意思是A与B至少一者为真,可记为“A   B”。

以下的真值表更清楚地展示以上的语义说明

A   A
   
   
A B A   B
     
     
     
     
A B A   B
     
     
     
     
A B A   B
     
     
     
     
3.量词与变数
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“存在实数大于零”,或是“对任意实数x和y,x=y 或 x<y 或 x>y”是大家所孰悉的数学叙述。但仔细来说,以上两句代表

“存在x,x是实数且 x> 0”

“对所有x和所有y,若x为实数且y为实数 x=y 或 x<y 或 x>y”

也就是说,“所有/任意”和“有/存在”这两种词汇,都须依托于变数的帮助,才能清楚的表达意义,所以这两种词会被统称为量词

一、集合:

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集合的观念与“属于”这个谓词是密不可分的。某个物体称为“集合”意思是有其他东西属于它。

集合的定义:一般地,我们把研究对象称为元素,一些元素组成的总体称为集合。

集合的特点

确定性:一个元素要么是集合 的元素,要么不是集合 的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。

互异性:集合中的元素不重复。

无序性:集合中的元素不考虑顺序。

二、区间、邻域︰

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区间是一类数的集合,在数学中经常使用。

  • 有限区间
 
数集  称为开区间,记作  即 
数集  称为闭区间,记作  即 
同样,把
 
 
称为半开区间
  • 邻域
以点 为中心的任何区间称为 邻域,记作 。邻域一般为有限区间
 是任一正数,则区间 就是点 的一个邻域,称此为点  邻域,记作 
 ,亦可记作 
 为此邻域的中心 邻域的半径
同时,把点  邻域去掉中心 后,称为点 去心的 邻域
  • 无限区间:
 
 
 
 
 即区间元素 属于全体实数 

三、常量与变量:

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在一个变化过程中,固定不变的量叫做常量,变化的量叫做变量

如对于过程:路程=速度×时间,公式表达为 

在此公式中,如果一辆小车以60km/h匀速直线运动,则速度 为常量,因为随着时间 的增大,路程 也会增大,所以  是变量。

也可以说  的函数。

补充:一次函数解析式为 ,特别的,当 ,函数变为 ,此时,称它是正比例函数。

四、函数:

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对于集合 中的任何一个元素,在集合 中都有唯一的元素与它对应,这样的关系叫从集合 到集合 映射函数

大多数情况下,映射规则是有序的。

函数表示形为: 

其中 是函数值(或在不引起歧义的情况下,简称为函数), 是对应法则, 是自变量。

注意:有些地方称 为因变量,在数学中,这种表述是不严谨的,应引起注意。

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