高中數學（版聊式）/第2節：導數

導數的定義

經過上面兩個例子，我們可以看到，形如

$\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

的式子很重要。

事實上，對於一個給定的初等函數，對於定義域內(非端點)一個數$x_{0}$，上式總是會趨向一個定值。

如果我們令$x_{1}-x_{0}=\Delta x$，那麼這個式子可以寫作：

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

定義：一般地，函數$y=f(x)$在$x=x_{0}$處的導數為$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$，記作$f'(x_{0})$或$y'|_{x=x_{0}}$。

導數的意義

導數描述的實際上是一個函數$y=f(x)$在$x_{0}$處的瞬時變化率。從幾何關係上講（參見5.1.1切線），某一點導數的值即為此點切線的斜率（傾斜角的正切）。

導函數

函數$f(x)$在定義域內（除端點）某一點$x_{0}$的導數都是一個確定的數值$f'(x_{0})$.

這樣，當$x$變化時，$f'(x)$便是$x$的一個函數，我們稱它為$f(x)$的導函數(derivative function)，經常也直接簡稱$f(x)$的導數。即

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$