高中数学（版聊式）/第2节：导数

导数的定义

经过上面两个例子，我们可以看到，形如

$\lim _{x_{1}\to x_{0}}{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$

的式子很重要。

事实上，对于一个给定的初等函数，对于定义域内(非端点)一个数$x_{0}$，上式总是会趋向一个定值。

如果我们令$x_{1}-x_{0}=\Delta x$，那么这个式子可以写作：

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$

定义：一般地，函数$y=f(x)$在$x=x_{0}$处的导数为$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}$，记作$f'(x_{0})$或$y'|_{x=x_{0}}$。

导数的意义

导数描述的实际上是一个函数$y=f(x)$在$x_{0}$处的瞬时变化率。从几何关系上讲（参见5.1.1切线），某一点导数的值即为此点切线的斜率（倾斜角的正切）。

导函数

函数$f(x)$在定义域内（除端点）某一点$x_{0}$的导数都是一个确定的数值$f'(x_{0})$.

这样，当$x$变化时，$f'(x)$便是$x$的一个函数，我们称它为$f(x)$的导函数(derivative function)，经常也直接简称$f(x)$的导数。即

$f'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$