數學解題/P20080604-01

問題：	右圖為一打開 60° 的扇形，O 為圓心，半徑為 r 若 P 為位在 AB 弧上的一點，並且作垂直線段到扇形的兩邊，長度分別為 a 與 b ， 那麼如何利用 a 與 b 計算出 r ？

解法一

此解法主要是利用三角函數的和角公式：

$\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha$

假設：

$\displaystyle \alpha =$ ∠AOP，$\displaystyle \beta =$ ∠BOP

因為

∠AOP = 60°，$\sin \alpha ={\frac {a}{r}}$，$\sin \beta ={\frac {b}{r}}$

所以：

$\displaystyle \sin \beta =\sin(60^{\circ }-\alpha )=\sin 60^{\circ }\cos \alpha -\cos 60^{\circ }\sin \alpha$

從圖中，我們可以將上面的式子中的三角函數轉成以下的各種比例：

${\frac {b}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}{r}}-{\frac {1}{2}}{\frac {a}{r}}$

兩邊同乘以 $\displaystyle 2r$，可得：

$2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}-a$

$a+2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}$

兩邊同時平方，可得：

$\displaystyle (a+2b)^{2}=3(r^{2}-a^{2})$

整理後，可得

$\displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=3r^{2}$