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数学解题/P20080604-01
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數學解題
问题:
右图为一打开 60° 的扇形,O 为圆心,半径为 r
若 P 为位在 AB 弧上的一点,并且作垂直线段到扇形的两边,长度分别为 a 与 b ,
那么如何利用 a 与 b 计算出 r ?
解法一
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此解法主要是利用三角函数的
和角公式
:
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
sin
β
cos
α
{\displaystyle \displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\sin \beta \cos \alpha }
假设:
α
=
{\displaystyle \displaystyle \alpha =}
∠AOP,
β
=
{\displaystyle \displaystyle \beta =}
∠BOP
因为
∠AOP = 60°,
sin
α
=
a
r
{\displaystyle \sin \alpha ={\frac {a}{r}}}
,
sin
β
=
b
r
{\displaystyle \sin \beta ={\frac {b}{r}}}
所以:
sin
β
=
sin
(
60
∘
−
α
)
=
sin
60
∘
cos
α
−
cos
60
∘
sin
α
{\displaystyle \displaystyle \sin \beta =\sin(60^{\circ }-\alpha )=\sin 60^{\circ }\cos \alpha -\cos 60^{\circ }\sin \alpha }
从图中,我们可以将上面的式子中的三角函数转成以下的各种比例:
b
r
=
3
2
r
2
−
a
2
r
−
1
2
a
r
{\displaystyle {\frac {b}{r}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {r^{2}-a^{2}}}{r}}-{\frac {1}{2}}{\frac {a}{r}}}
两边同乘以
2
r
{\displaystyle \displaystyle 2r}
,可得:
2
b
=
3
r
2
−
a
2
−
a
{\displaystyle 2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}-a}
a
+
2
b
=
3
r
2
−
a
2
{\displaystyle a+2b={\sqrt {3}}{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}
两边同时平方,可得:
(
a
+
2
b
)
2
=
3
(
r
2
−
a
2
)
{\displaystyle \displaystyle (a+2b)^{2}=3(r^{2}-a^{2})}
整理后,可得
4
(
a
2
+
a
b
+
b
2
)
=
3
r
2
{\displaystyle \displaystyle 4(a^{2}+ab+b^{2})=3r^{2}}