高中数学（版聊式）/必修一/基本初等函数/指数函数与对数函数

指数与指数幂的运算

根据图像查看指数的值等,观察其是一次函数,正比例函数,二次函数,反比例函数,一元二次函数等。

有理指数及其运算

定义：若$x^{n}=a$，其中$a\in R$，$n$是正整数，则称$x$是$a$的$n$次方根。容易看出，若$n$为奇数，则$a$存在唯一的$n$次方根，我们记做${\sqrt[{n}]{a}}$。而若$n$为偶数，当$a$为负数时无$n$次方根，$a=0$是有唯一$n$次方根0,$a>0$时有两个互为相反数的$n$次方根，记正的$n$次方根为${\sqrt[{n}]{a}}$，负的$n$次方根为$-{\sqrt[{n}]{a}}$  。

有了n次方根的定义，我们就可以定义有理数次幂的概念。

定义1：设$m,n$为互素的正整数，$a$为正数，定义$a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$。

定义2：设$r$是负有理数，$a$是正数，则定义$a^{r}={\frac {1}{a^{-r}}}$。

这样定义的有理指数幂满足下面的运算法则：

1. $a^{r}a^{s}=a^{r+s}$
2. $(a^{r})^{s}=a^{rs}$
3. $(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$(其中$a,b$为正数，$r,s$为有理数)

如此，我们就把指数的概念推广到了有理数，我们接下来将这一概念推广到全体实数。

无理指数及其运算

无理数指数幂的运算与有理数相同，可以按照有理数指数幂的运算方法运算无理数指数幂。

指数函数

什么是指数函数？

一般的，形如$y=a^{x}$($a>0$且$a\neq 1$)的函数称作指数函数。

图像

图1：指数函数y=3^x的图像（用几何画板5.06绘制）

指数函数的图像是一条在x轴上方的曲线，x轴是它的渐近线，如图1.

性质

相关属性		$a>1$	$0<a<1$
图像		$Y=2^{x}$函数图象（用几何画板5.06绘制）	$Y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}$的图像
相同点	经过的定点	（0,1）
	奇偶性	非奇非偶
	定义域和值域	定义域$A\in R$；值域$C\in \left(0,+\infty \right)$
不同点	单调性	单调递增	单调递减
	对应值	当$x>0$时，$y>1$；$x<0$时，$y<1$	当$x>0$时，$y<1$；$x<0$时，$y>1$
	与x、y轴的关系	$a$越大，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴	$a$越小，向上越靠近y轴，向下越靠近x轴

对数及其运算

什么是对数？

一般的，若$a^{x}>N$（$a>0$且$a\neq 1$），那么$x$就可以称作以$a$为底N的对数，记作$x=\log _{a}N$

根据定义可以看出，指数和对数是可以互相转化的。指数是对数的前提，关于对数的问题可以用指数作为桥梁。

特殊对数：

以10为底的对数称作常用对数，记作$\lg x$

以无理数$e=2.71828...$为底的对数称作自然对数，记作$\ln x$

根据对数的定义可以得到对数的性质：

• 负数和0没有对数，即$\log _{a}N$中，$N>0$
• 1的对数是0
• 底数的对数为1
• 对数恒等式：$a^{\log _{a}N}=N$ $\log _{a}a^{x}=x$

对数的运算性质：

• $\log _{a}MN=\log _{a}M+\log _{a}N$
• $\log _{a}{\frac {M}{N}}=\log _{a}M-\log _{a}N$
• $\log _{a}M^{n}=n\log _{a}M$

• $\log _{a^{r}}N^{s}=\left({\frac {s}{r}}\right)\log _{a}N$

对数函数是，那么可以将$x$称作以$a$为底N的对数，记作$x=\log _{a}N$指数函数的反函数。也就是$x=y^{a}$。

可是用多项式、三角函数、指数函数都没有办法表示这个函数。因此呢，就用新符号$\log$表达，也就是

$a^{y}=x\equiv y=\log _{a}x$（$\equiv$表示两函数等价）

对数函数在历史上备受重视，可是现在用处很少，基本只在微积分学里使用。微积分学里对数的底都是$e$（上文提到过的），数学家为了符号简略，把$\log _{e}x$简写为$\ln x$