( V , ⊕ , ⋅ ) {\displaystyle (V,\,\oplus ,\,\cdot )} 是定義在體 ( F , + , × ) {\displaystyle (F,\,+,\,\times )} 上的線性空間,若函數 f : V → V {\displaystyle f:V\to V} 滿足
有時會定義
並以
來表示 f {\displaystyle f} 是定義在 V {\displaystyle V} 的線性變換。
我們可以把上面的定義稍作推廣
( V , ⊕ , ⋅ ) {\displaystyle (V,\,\oplus ,\,\cdot )} 和 ( W , ⊙ , ∘ ) {\displaystyle (W,\,\odot ,\,\circ )} 是定義在體 ( F , + , × ) {\displaystyle (F,\,+,\,\times )} 上的線性空間,若函數 f : V → W {\displaystyle f:V\to W} 滿足
从 R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} 到 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 的投影函数 π : R 3 → R 2 {\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{2}}
是一个线性变换。
它尊重加法:
和标量乘法:
由于这个函数不是单射(例如, 0 {\displaystyle \mathbf {0} } 和 e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{3}} 都被映射到 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 中的零向量),它不是一个同构。