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定义编辑

 是区间 上的可导函数。若对任给 ,有  ,则称   上的一个原函数,或简单地说,  的原函数。

  在区间 上的一个原函数,则称  取任意常数)为 不定积分(有时也简称为积分),记作 ,即 

 为积分号, 为被积函数, 为积分变量, 为被积表达式, 为积分常数。

例1

 的导函数是 ,则 的原函数是 加上一个常数。有

 

例2

考察函数 。由求导法则

 

 

又由于

 

因此,  的一个原函数。

性质编辑

基本性质编辑

 为一常数,则 
分项积分公式
 
 

幂函数的积分编辑

 ,对任意 成立。

反比例函数的积分编辑

 

注意:当指数为 时,幂函数的积分规则不适用,必须使用反比例函数的积分规则。由于对数函数的真数必为正,因此须加上绝对值符号。

指数函数的积分编辑

 

三角函数的积分编辑

 
 

   
 

分部积分法编辑

分部积分法

  可微,则

 

例1

 

 ,则 
 ,则 

所以

   
 
 
 

例2

 

 ,则 
 ,则 

所以

   
 
 
 

再令

 ,则 
 ,则 

所以

 

因此

 

例3

 

原式可写作

 

 ,则 
 ,则 

所以

   
 
 
 

例4

 

原式可写作 

 ,则 
 ,则 

所以

   
 

例5

 

 ,则 
 ,则 

所以

 

再令

 ,则 
 ,则 

所以

   
 

 

解得