複數

複數（Complex number），是一種「複合的數」，由實數和虛數單位$i$所組成。所有的複數都可表達成$a+bi$。

虛數單位

為何需要虛數單位

• 解方程：$0.5x^{2}-6x+55.5=0$

從以上一元二次方程的判別式$b^{2}-4ac=36-4(0.5)(55.5)=36-111=-75$中，我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數，大概答至這裏便可了。若果你學了虛數，又應怎樣答呢？

你應答$x=i$或$-i$，其中$i$是常數，其值為${\sqrt {-1}}$，稱為虛數單位。

如上題：判別式=$36-111=-75$，$x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}$, ${\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}$

可記做：$x=6+5{\sqrt {3}}i$, $6-5{\sqrt {3}}i$

在古代，數學的應用大多用不着複數，因此人們並沒有對複數進行研究。

運算

${\sqrt {-9}}=3i$

${\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i$

${\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i$，其中$x\geq 0$

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}$

切記以下的計法不正確：

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}$。

${\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$只能應用於$x,y\geq 0$時，因為負數的開方是不連續的。

$i$ 的高次方會不斷作以下的循環：

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$i^{7}=-i\,$

...

練習

若$n$是整數，試計算以下的值：

1. $i^{4n}$
2. $i^{4n+1}$
3. $i^{4n+2}$
4. $i^{4n+3}$

複數的表示：實部、虛部、軛、模

所有複數都可以表示成$a+bi$，其中$a,b$是實數。$a$稱為實部，而$b$稱為虛部。例如$3+4i$的實部就是$3$，虛部是$4$。

一個複數$a+bi$的軛（Conjugates）是$a-bi$，$3+4i$的軛就是$3-4i$。如果某個複數是一條二次方程的根，其軛就是另一個根。例如$x^{2}-6x+25=0$的根就是$3+4i$和$3-4i$。

複數$z$的軛寫作${\bar {z}}$。複數和其軛相乘，即$z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}$，是一個實數。將複數和軛相加，$z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a$，亦是一個實數，是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減，$z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi$，會得到其虛部的兩倍。 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$稱為$a+bi$的模或絕對值。

運算

四則運算

在四則運算上，複數運算和一般運算無甚差異：

• 加、減法：實部加實部，虛部加虛部：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• 乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• 除法：可將分母「實數化」，方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分：${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

例１：${\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}$ $={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}$

例２：求$36+111i^{2}$之值。 $i^{2}=-1$，$36+111i^{2}=36-111=-75$

開方

要找一個複數的開$n$次冪，可以先求$(a+bi)^{n}$的展開式，再對應欲開$n$次冪的複數的虛部和實數求解。

例：$x^{2}=i$，求$x$。

$(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i$

$i=0+1i$

$a^{2}-b^{2}=0;2ab=1$

解方程得$a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$或$a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$，因此，$x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$或$x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

冪、對數

參見#冪、對數的計算。

複數平面

本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置，當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置，用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。

歐拉公式

等式$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。 當x為π時, $e^{i\pi }+1=0$ 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：$e$，$i$，$\pi$，１，０，连起来.

幾何上的應用

向量

复数向量是表示在復平面上的向量

向量z=$a+bi$

在實軸上的正射影長為a，在虛軸上的正射影長為b

長度为$|z|={\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)}}$

高斯整數、艾森斯坦整數

練習解答

練習一

1. 1
2. $i$
3. -1
4. $-i$

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複數 (數學)