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複數可定義為兩實數 a , b {\displaystyle \left.a,b\right.} 的序對，其中此序對滿足以下規律：
一般複數採用符號i，通常定義 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-1}}} ，或 i 2 = − 1 {\displaystyle \left.i^{2}=-1\right.} ，而由此定義出發所構成的數 a + i b {\displaystyle \left.a+ib\right.} 亦滿足以上所定義的序對的規律
複數數域採用符號 C {\displaystyle \mathbb {C} }
對於複數 u , v , w , {\displaystyle \left.u,v,w,\right.} 有以下的性質：
注意：不能比對兩個複數的大小，因為大小關係是定義在實數之上的一種關係，也因此複數沒有正負之分。
對於任意複數z，可表為 z = | z | ( cos x + i sin x ) {\displaystyle z=\left|z\right|(\cos x+i\sin x)} ，其中 z = a + i b {\displaystyle \left.z=a+ib\right.} ， x = tan − 1 b a {\displaystyle \left.x={\tan }^{-1}{\frac {b}{a}}\right.}
以此表示法表示的複數有性質如下：
當n為實數，z為以上所講的複數時
z n = | z | n ( cos x + i sin x ) n = | z | n ( cos n x + i sin n x ) {\displaystyle z^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos x+i\sin x)^{n}=\left|z\right|^{n}(\cos nx+i\sin nx)}
這個性質在解任意複數(包括實數在內)z的n次方根時相當地有用
另一方面，複數可表示成以e為底指數函數（歐拉公式）：
| z | ( cos x + i sin x ) = e i x + ln | z | {\displaystyle \left|z\right|(\cos x+i\sin x)=e^{ix+\ln \left|z\right|}}
根据泰勒公式， e x = ∑ n = 0 + ∞ x n n ! {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}} 和 sin ( x ) = ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n − 1 x 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! {\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}}} 以及 cos ( x ) = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! {\displaystyle \cos(x)=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}} 有：
e i z = ∑ n = 0 + ∞ ( i z ) n n ! = ∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n z 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n − 1 z 2 n − 1 ( 2 n − 1 ) ! = cos ( z ) + i sin ( z ) {\displaystyle e^{iz}=\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {(iz)^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}{\frac {z^{2n}}{(2n)!}}+i\sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}{\frac {z^{2n-1}}{(2n-1)!}}=\cos(z)+i\sin(z)}
若 z = x + i y {\displaystyle \left.z=x+iy\right.} ，设 | z | = r {\displaystyle \left|z\right|=r} ， θ = arctan y x {\displaystyle \theta =\arctan {\frac {y}{x}}} 则：
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的序對，其中此序對滿足以下規律：
，或
，而由此定義出發所構成的數
亦滿足以上所定義的序對的規律
，其中
，
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i{\frac {2k\pi +\theta }{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59b7724b233525a6dd987f179f7fd66b2a2e8373)
