複數
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複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成。
虛數單位
编辑為何需要虛數單位
编辑- 解方程:
從以上一元二次方程的判別式 中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?
你應答 或 ,其中 是常數,其值為 ,稱為虛數單位。
如上題:判別式= , ,
可記做: ,
在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。
運算
编辑- ,其中
切記以下的計法不正確:
- 。
只能應用於 時,因為負數的開方是不連續的。
的高次方會不斷作以下的循環:
- ...
練習
编辑若 是整數,試計算以下的值:
複數的表示:實部、虛部、軛、模
编辑所有複數都可以表示成 ,其中 是實數。 稱為實部,而 稱為虛部。例如 的實部就是 ,虛部是 。
一個複數 的軛(Conjugates)是 , 的軛就是 。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如 的根就是 和 。
複數 的軛寫作 。複數和其軛相乘,即 ,是一個實數。將複數和軛相加, ,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減, ,會得到其虛部的兩倍。 稱為 的模或絕對值。
練習
编辑運算
编辑四則運算
编辑在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:
- 加、減法:實部加實部,虛部加虛部:
- 乘法:
- 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分:
例1:
例2:求 之值。 ,
開方
编辑要找一個複數的開 次冪,可以先求 的展開式,再對應欲開 次冪的複數的虛部和實數求解。
例: ,求 。
解方程得 或 ,因此, 或
冪、對數
编辑參見#冪、對數的計算。
複數平面
编辑本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置,當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置,用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。
有序對
编辑單位圓
编辑歐拉公式
编辑等式 称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。 當x為π時, 这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数: , , ,1,0,连起来.
冪、對數的計算
编辑棣美弗公式
编辑幾何上的應用
编辑向量
编辑复数向量是表示在復平面上的向量
向量z=
在實軸上的正射影長為a,在虛軸上的正射影長為b
長度为
變換
编辑位移
编辑旋轉
编辑例子
编辑凡·奧貝爾定理的證明
编辑高斯整數、艾森斯坦整數
编辑質數
编辑練習解答
编辑練習一
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