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複數(Complex number),是一種「複合的數」,由實數和虛數單位所組成。所有的複數都可表達成

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虛數單位编辑

為何需要虛數單位编辑

  • 解方程: 

從以上一元二次方程的判別式 中,我們可以知道這條方程沒有實根。如果你不曾學過虛數,大概答至這裏便可了。若果你學了虛數,又應怎樣答呢?

你應答  ,其中 是常數,其值為 ,稱為虛數單位

如上題:判別式=  ,  

可記做: ,  

在古代,數學的應用大多用不着複數,因此人們並沒有對複數進行研究。

運算编辑

 
 
 ,其中 
 

切記以下的計法不正確:

 

 只能應用於 時,因為負數的開方是不連續的。

  的高次方會不斷作以下的循環:

 
 
 
 


 
 
 
 


...

練習编辑

 是整數,試計算以下的值:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

複數的表示:實部、虛部、軛、模编辑

所有複數都可以表示成 ,其中 是實數。 稱為實部,而 稱為虛部。例如 的實部就是 ,虛部是 

一個複數 (Conjugates)是  的軛就是 。如果某個複數是一條二次方程的根,其軛就是另一個根。例如 的根就是  

複數 的軛寫作 。複數和其軛相乘,即 ,是一個實數。將複數和軛相加, ,亦是一個實數,是其實部的兩倍。將複數減去複數的軛相減, ,會得到其虛部的兩倍。  稱為 絕對值

練習编辑

運算编辑

四則運算编辑

在四則運算上,複數運算和一般運算無甚差異:

  • 加、減法:實部加實部,虛部加虛部: 
  • 乘法: 
  • 除法:可將分母「實數化」,方法是分子、分母乘以分母的軛作擴分: 

例1:   

例2:求 之值。   

開方编辑

要找一個複數的開 次冪,可以先求 的展開式,再對應欲開 次冪的複數的虛部和實數求解。

例: ,求 

 
 
 

解方程得  ,因此,  

冪、對數编辑

參見#冪、對數的計算

複數平面编辑

本來卡氏座標要有兩個座標來表示位置,當有了複數後我們只需要一個複數就可以表示座標上的位置,用這樣方式表示座標平面稱為復座標或復平面。復平面由一實軸和虛軸組成。

有序對编辑

單位圓编辑

歐拉公式编辑

等式 称为复数的欧拉公式(Euler's complex number formula)。 當x為π時,   这是一道被誉为美妙无比的式子,因等式将数学内五个极重要的数:   ,1,0,连起来.

冪、對數的計算编辑

棣美弗公式编辑

幾何上的應用编辑

向量编辑

复数向量是表示在復平面上的向量

向量z= 

在實軸上的正射影長為a,在虛軸上的正射影長為b

長度为 

變換编辑

位移编辑

旋轉编辑

例子编辑

凡·奧貝爾定理的證明编辑

高斯整數、艾森斯坦整數编辑

質數编辑

練習解答编辑

練習一编辑

  1. 1
  2.  
  3. -1
  4.  
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