复数

复数（Complex number），是一种“复合的数”，由实数和虚数单位$i$所组成。所有的复数都可表达成$a+bi$。

虚数单位

为何需要虚数单位

• 解方程：$0.5x^{2}-6x+55.5=0$

从以上一元二次方程的判别式$b^{2}-4ac=36-4(0.5)(55.5)=36-111=-75$中，我们可以知道这条方程没有实根。如果你不曾学过虚数，大概答至这里便可了。若果你学了虚数，又应怎样答呢？

你应答$x=i$或$-i$，其中$i$是常数，其值为${\sqrt {-1}}$，称为虚数单位。

如上题：判别式=$36-111=-75$，$x={\frac {6+{\sqrt {-75}}}{1}}$, ${\frac {6-{\sqrt {-75}}}{1}}$

可记做：$x=6+5{\sqrt {3}}i$, $6-5{\sqrt {3}}i$

在古代，数学的应用大多用不着复数，因此人们并没有对复数进行研究。

运算

${\sqrt {-9}}=3i$

${\sqrt {-2}}={\sqrt {2}}i$

${\sqrt {-x}}={\sqrt {x}}i$，其中$x\geq 0$

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}=3i\times {\sqrt {2}}i=-{\sqrt {18}}$

切记以下的计法不正确：

${\sqrt {-9}}\times {\sqrt {-2}}={\sqrt {(-9)(-2)}}={\sqrt {18}}$。

${\sqrt {x}}\times {\sqrt {y}}={\sqrt {xy}}$只能应用于$x,y\geq 0$时，因为负数的开方是不连续的。

$i$ 的高次方会不断作以下的循环：

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$i^{7}=-i\,$

...

练习

若$n$是整数，试计算以下的值：

1. $i^{4n}$
2. $i^{4n+1}$
3. $i^{4n+2}$
4. $i^{4n+3}$

复数的表示：实部、虚部、轭、模

所有复数都可以表示成$a+bi$，其中$a,b$是实数。$a$称为实部，而$b$称为虚部。例如$3+4i$的实部就是$3$，虚部是$4$。

一个复数$a+bi$的轭（Conjugates）是$a-bi$，$3+4i$的轭就是$3-4i$。如果某个复数是一条二次方程的根，其轭就是另一个根。例如$x^{2}-6x+25=0$的根就是$3+4i$和$3-4i$。

复数$z$的轭写作${\bar {z}}$。复数和其轭相乘，即$z\times {\bar {z}}=(a+bi)(a-bi)=a(a)+a(bi)-a(bi)-(bi)(bi)=a^{2}+b^{2}$，是一个实数。将复数和轭相加，$z+{\bar {z}}=(a+bi)+(a-bi)=2a$，亦是一个实数，是其实部的两倍。将复数减去复数的轭相减，$z-{\bar {z}}=(a+bi)-(a-bi)=2bi$，会得到其虚部的两倍。 $|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$称为$a+bi$的模或绝对值。

运算

四则运算

在四则运算上，复数运算和一般运算无甚差异：

• 加、减法：实部加实部，虚部加虚部：$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
• 乘法：$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bidi=ac+bdi^{2}+(ad+bc)i=(ac-bd)+(ad+bc)i$
• 除法：可将分母“实数化”，方法是分子、分母乘以分母的轭作扩分：${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}$

例１：${\frac {(1-2i)(3+4i)-(5+6i)}{7+8i}}={\frac {11-2i-(5+6i)}{7+8i}}$ $={\frac {6-8i}{7+8i}}={\frac {(6-8i)(7-8i)}{(7+8i)(7-8i)}}={\frac {-22-104i}{113}}=-{\frac {22+104i}{113}}$

例２：求$36+111i^{2}$之值。 $i^{2}=-1$，$36+111i^{2}=36-111=-75$

开方

要找一个复数的开$n$次幂，可以先求$(a+bi)^{n}$的展开式，再对应欲开$n$次幂的复数的虚部和实数求解。

例：$x^{2}=i$，求$x$。

$(a+bi)^{2}=a^{2}+2abi+(bi)^{2}=(a^{2}-b^{2})+(2ab)i$

$i=0+1i$

$a^{2}-b^{2}=0;2ab=1$

解方程得$a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}$或$a=b=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$，因此，$x={\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$或$x=-{\frac {\sqrt {2}}{2}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}i$

幂、对数

参见#幂、对数的计算。

复数平面

本来卡氏座标要有两个座标来表示位置，当有了复数后我们只需要一个复数就可以表示座标上的位置，用这样方式表示座标平面称为复座标或复平面。复平面由一实轴和虚轴组成。

欧拉公式

等式$e^{ix}=\cos x+i\;\sin x$称为复数的欧拉公式（Euler's complex number formula）。 当x为π时, $e^{i\pi }+1=0$ 这是一道被誉为美妙无比的式子，因等式将数学内五个极重要的数：$e$，$i$，$\pi$，１，０，连起来.

几何上的应用

向量

复数向量是表示在复平面上的向量

向量z=$a+bi$

在实轴上的正射影长为a，在虚轴上的正射影长为b

长度为$|z|={\sqrt {\left(a^{2}+b^{2}\right)}}$

高斯整数、艾森斯坦整数

练习解答

练习一

1. 1
2. $i$
3. -1
4. $-i$

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复数 (数学)