線性代數/平面座標/線性變換

點座標的重新排列

(4,3)在座標平面上的位置

如果你學過平面座標系，那麼你會知道平面座標的每個點座標(x,y)實際上是循著(1,0)的方向走 x 單位，沿著(0,1)的方向走 y 單位所到達的點，就像左圖所展示的方式一樣。圖中一個小小的紅色箭頭就是(1,0)方向，我們稱為(1,0)向量；一個小小的綠色箭頭就是(0,1)方向，我們稱為(0,1)向量。

利用這樣的方式，我們就可以將平面上的每一個點，都安排一個獨一無二的座標。因此，我們都知道(x,y)座標就是循著(1,0)方向與(0,1)方向各走 x 單位與 y 單位的所到達的點。

指定新的方向

但假設我們將每一個點座標(x,y)都重新安排到一個新的位置，而且這次是沿著兩個「新的方向」各走 x 單位與 y 單位，那麼「新的點座標」將會在哪裡呢？ 例如：如果我們將兩個「新的方向」指定為(2,1)與(-1,1)，那麼本來在(2,3)的點座標會跑到哪裡呢？

計算新的點座標

我們利用底下的圖來說明這個問題：

將兩個「新方向」指定為(2,1)與(-1,1)

這個新的點，如果你懂一點向量加法的話，利用下方的算式，應該不難算出來：

(2,1)+(2,1)+(-1,1)+(-1,1)+(-1,1) = 2(2,1) + 3(-1,1) = (4,2)+(-3,3) = (1,5)

最後，新的點座標落在(1,5)上，正如你在上圖（右）中可以看到的一樣。

直式座標

不過，為了配合線性代數這門學科所使用的符號起見，因為其他的人也是這樣表示的（畢竟數學是一種共通的語言），因此以後我們的點座標幾乎都會用「直式」的方式來表示，像下面所展示的的計算一樣。

${\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+3{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}$

「直式」的座標 當一點的座標為 (x,y) 時，我們往後會將它寫成， ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ 以符合目前線性代數符號的用法。