线性代数/平面座标/线性变换

点座标的重新排列

(4,3)在座标平面上的位置

如果你学过平面座标系，那么你会知道平面座标的每个点座标(x,y)实际上是循著(1,0)的方向走 x 单位，沿著(0,1)的方向走 y 单位所到达的点，就像左图所展示的方式一样。图中一个小小的红色箭头就是(1,0)方向，我们称为(1,0)向量；一个小小的绿色箭头就是(0,1)方向，我们称为(0,1)向量。

利用这样的方式，我们就可以将平面上的每一个点，都安排一个独一无二的座标。因此，我们都知道(x,y)座标就是循著(1,0)方向与(0,1)方向各走 x 单位与 y 单位的所到达的点。

指定新的方向

但假设我们将每一个点座标(x,y)都重新安排到一个新的位置，而且这次是沿著两个“新的方向”各走 x 单位与 y 单位，那么“新的点座标”将会在哪里呢？ 例如：如果我们将两个“新的方向”指定为(2,1)与(-1,1)，那么本来在(2,3)的点座标会跑到哪里呢？

计算新的点座标

我们利用底下的图来说明这个问题：

将两个“新方向”指定为(2,1)与(-1,1)

这个新的点，如果你懂一点向量加法的话，利用下方的算式，应该不难算出来：

(2,1)+(2,1)+(-1,1)+(-1,1)+(-1,1) = 2(2,1) + 3(-1,1) = (4,2)+(-3,3) = (1,5)

最后，新的点座标落在(1,5)上，正如你在上图（右）中可以看到的一样。

直式座标

不过，为了配合线性代数这门学科所使用的符号起见，因为其他的人也是这样表示的（毕竟数学是一种共通的语言），因此以后我们的点座标几乎都会用“直式”的方式来表示，像下面所展示的的计算一样。

${\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+3{\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\5\end{bmatrix}}$

“直式”的座标 当一点的座标为 (x,y) 时，我们往后会将它写成， ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ 以符合目前线性代数符号的用法。