微积分学/积分审敛法

积分审敛法

积分审敛法

设级数$S=\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$，若$s(n)$在区间$[j,\infty )$上连续递减，则

1. 若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$收敛，则$S$收敛
2. 若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$发散，则$S$发散

积分审敛法实际上是比较审敛法的特例。

如图，曲线为$s(n)$的图像，各矩形面积之和为$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$，显然$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$小于$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$，因此若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$收敛，则$S$收敛。

如图，曲线为$s(n)$的图像，各矩形面积之和为$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$，显然$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$大于$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$，因此若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$发散，则$S$发散。

例1

对以下级数运用积分审敛法

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

解答

反常积分得$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}-{\frac {-1}{(1)}}$为1，收敛，故级数收敛。

例2

对以下级数运用积分审敛法

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+1}{n}}$

解答

${\frac {n^{2}+1}{n}}$不满足递减要求。但实际上由极限审敛法便可得级数发散。

例3

对以下级数运用积分审敛法

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$

解答

${\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$只在$[3,+\infty )$递减，因此级数可改写为$\sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$，对后一项反常积分得$\lim _{n\rightarrow \infty }\arctan(n-3)$为${\frac {\pi }{2}}$，收敛，故级数收敛。