微積分學/積分審斂法

積分審斂法

編輯
積分審斂法

設級數 ,若 在區間 上連續遞減,則

  1.  收斂,則 收斂
  2.  發散,則 發散

積分審斂法實際上是比較審斂法的特例。

 

如圖,曲線為 的圖像,各矩形面積之和為 ,顯然 小於 ,因此若 收斂,則 收斂。

 

如圖,曲線為 的圖像,各矩形面積之和為 ,顯然 大於 ,因此若 發散,則 發散。

對以下級數運用積分審斂法

 

解答

編輯

反常積分得 為1,收斂,故級數收斂。

對以下級數運用積分審斂法

 

解答

編輯

 不滿足遞減要求。但實際上由極限審斂法便可得級數發散。

對以下級數運用積分審斂法

 

解答

編輯

 只在 遞減,因此級數可改寫為 ,對後一項反常積分得  ,收斂,故級數收斂。