微積分學/積分審斂法

積分審斂法

積分審斂法

設級數$S=\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$，若$s(n)$在區間$[j,\infty )$上連續遞減，則

1. 若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$收斂，則$S$收斂
2. 若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$發散，則$S$發散

積分審斂法實際上是比較審斂法的特例。

如圖，曲線為$s(n)$的圖像，各矩形面積之和為$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$，顯然$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$小於$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$，因此若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$收斂，則$S$收斂。

如圖，曲線為$s(n)$的圖像，各矩形面積之和為$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$，顯然$\sum _{n=j}^{\infty }{s_{n}}$大於$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$，因此若$\int _{j}^{\infty }{s(n)dn}$發散，則$S$發散。

例1

對以下級數運用積分審斂法

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

解答

反常積分得$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}-{\frac {-1}{(1)}}$為1，收斂，故級數收斂。

例2

對以下級數運用積分審斂法

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}+1}{n}}$

解答

${\frac {n^{2}+1}{n}}$不滿足遞減要求。但實際上由極限審斂法便可得級數發散。

例3

對以下級數運用積分審斂法

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$

解答

${\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$只在$[3,+\infty )$遞減，因此級數可改寫為$\sum _{n=1}^{2}{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}+\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{(n-3)^{2}+1}}$，對後一項反常積分得$\lim _{n\rightarrow \infty }\arctan(n-3)$為${\frac {\pi }{2}}$，收斂，故級數收斂。