微积分学/求和符号

求和符号使求和的表达式更简单紧凑。大写的希腊字母Σ被用来表示一组数字的总和。

例子

$\sum _{i=3}^{7}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}$

设$f$为函数，$M,N$为整数且$N<M$，则

$\sum _{i=N}^{M}f(i)=f(N)+f(N+1)+f(N+2)+\cdots +f(M)$

称$N$为下极限，$M$为上极限。

$i$也可以用别的字母代替，因此，我们称$i$为虚拟变量。所以

$\sum _{i=1}^{4}i=\sum _{j=1}^{4}j=\sum _{\alpha =1}^{4}\alpha =1+2+3+4$

通常我们使用字母$i$， $j$ ， $k$， $m$表示虚拟变量。

例子

$\sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5$

本例中，虚拟变量为$i$，下极限为1，上极限为5。

例子

有时式中没有虚拟变量，比如说

$\sum _{1}^{4}i^{3}=100$

此时虚拟变量可从上下文得知。

常用结论

$\sum _{i=1}^{n}c=c+c+\cdots +c=nc\ ,\ c\in \mathbb {R}$

$\sum _{i=1}^{n}i=1+2+3+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}$

$\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=\lim _{t\to \infty }\left[\sum _{i=1}^{t}a_{i}\right]$